Question

【题目】等重的两个木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为的斜面上，两木块与斜面的静摩擦因数分别为和，已知，。问：绳子与斜面上的最大倾斜线之间的夹角应满足什么限制，它们才能在斜面上保持静止？

Answer 1

【答案】当时，；当时，.

【解析】

一个物体能够静止在斜面上，其静摩擦系数应满足条件.

由于本题已知和，可知，，木块1能单独在斜面上保持静止，而木块2不能。现在两木块由细绳连接，当木块1在高处且绳子方位适当，拉直的绳子有可能阻止木块2滑动，同时木块1不被绳子拉动。

设平衡时木块如图甲所示放置。

图乙为斜面上两木块平衡时的受力图，虚线为斜面上最大倾斜线的方向。因为在足够大时，不能静止，将有滑动。在很小时（例如），很容易判定和作为整体沿斜面方向无滑动，保持平衡。所以在从0到足够大中间必有一个位置使处于临界状态，静摩擦力达最大。

我们先考虑木块2，其临界状态下由三个力作用：重力在方向的分力；绳中张力；临界时的摩擦力。由题中已知条件，有，所以.

如图丙所示，作矢量图，使，方向与平行，再以为圆心，为半径作圆，点必在圆外。过点作圆的切线，为切点。则，，方向指向点。因为，所以垂直于两木块间的绳子。是使木块2处于临界的最大张力，对应的是绳与的最大交角。这是因为，虽然从点出发，在小于的方向画一直线与圆相交有两个交点，较远的交点对应于大的，这个对应的最大静摩擦力使木块2有缩短绳子或有往上运动的倾向。这不符合事实，所以，是木块2保持静止的最大可能值。

再考察木块1的受力情况。为了方便，在图丙中相对于点作一个与圆对称的圆。木块1也受三个力作用：重力沿方向的分力（与木块2相同）；绳中张力，大小与木块2受到的张力相等，方向相反，在图丙上对应于点有点（当然，对应于有，这由角决定）；摩擦力，如果三力平衡，则三个力矢量可构成封闭三角形。在木块2上存在作用的绳中张力的条件下，代表作用在木块1上所必须提供的摩擦力.

如果木块2临界平衡时受到绳中张力较小，则也小，点变为点（圆上）。相对于对称的圆上必有对称的点。从图丙看出，为使质点1达平衡（即三个力矢量构成封闭三角形），所必须提供的摩擦力的最大值应等于或大于。这是由木块2处于临界平衡状态的最大角决定的。

我们来判定一下平衡的可能性，为此比较力：和.

①若，即必须提供的大于可能提供的最大静摩擦力，在绳子与方向夹角为时，木块1不能保持平衡。

②若，在绳子与方向夹角为时，木块1可以保持平衡。

如果属情况②，那么保持系统平衡的最大角是；如果属情况①，我们将继续寻找这个角，使.系统达平衡时，绳子与方向夹角必须小于或等于这个角.

为求，先确定与，由图丙得

.

又，

为了在位形处系统保持平衡，如图丙所示，要求达到的数值，可从求得：

.

又有木块1的最大静摩擦力，

为确定和间的大小关系，暂设，

即，

整理得.

在题中要求的条件下，有结论：

i. ，要求；

ii. ，要求.

即，当时，系统达平衡的条件是绳的最大倾斜角，因此，系统达平衡要求，

即.

当时，在绳的倾斜角处，木块1不能平衡，而只能在的某个角才能平衡。我们来求这个临界的角，在此

.

利用木块1、2达临界时的受力图丙中两个三角形和，得

，

.

两式相加、相减得

，

.

联立求解得到，

.

这个结果说明：当时，为使系统保持平衡，绳的倾斜角应满足

.

最后结论：为使系统在斜面上保持静止，绳子与斜面上的最大倾斜线之间的夹角应满足：

当时，；

当时，.