Question

【题目】球形线圈是由表面绝缘的细导线在半径为的球面上沿一固定直径密绕而成，沿该直径单位长度的匝数为，并且各处的都相同，当导线中载有电流时，试求：

（1）球心的磁感强度；

（2）该直径端点的磁感强度．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）设该直径为，它是线圈的轴线．因为是细导线密绕，故每匝线圈的电流都可当作圆电流．根据毕奥-萨伐尔定律，每匝线圈的电流在轴线上产生的磁感强度都沿轴线方向，故知沿轴线方向，即电流的右旋进方向．下面求的大小．

根据毕奥-萨伐尔定律，半径为的圆电流在轴线上离圆心为处产生的的大小为

． ①

如图所示，

轴线上处段线圈中的电流为，根据式①，这在球心产生的磁感强度的大小为

． ②

积分便得球心的磁感强度的大小为

． ③

因为， ④

代入式③便得

． ⑤

（2）求端的磁惑强度．如图所示，轴线上处段线圈中的电流为，根据式①，这在点产生的磁感强度的大小为

， ⑥

所以，． ⑦

由图可见

， ⑧

， ⑨

． ⑩

代入式⑦便得

．

的方向为电流的右旋进方向．

本题对中学生而言，应该有两方面的障碍：一是对模型中金属丝的缠绕方式不理解或理解错误，极易将理解为沿圆周单位长度上的线圈匝数；二是由于一般中学生不可能系统地学习微积分的相关内容，在计算的过程中，其积分技巧达不到要求，无法完成相关的计算．上述两方面的障碍，不论在哪方面出现问题，最后都会导致答题无功而返．