根据二次根式定义，被开数需非负。
①$\sqrt{9}$：被开方数为9（非负），是二次根式。
②$\sqrt{-a}$：被开方数$-a ≥ 0 \rightarrow a ≤ 0$，不确定一定非负，不一定是。
③$\sqrt{2a + 3}$：需$2a + 3 ≥ 0 \rightarrow a ≥ -\frac{3}{2}$，不确定，不一定是。
④$\sqrt{π - 3}$：$π \approx 3.14 \rightarrow π - 3 ＞ 0$，是二次根式。
⑤$\sqrt{\dfrac{2}{x^{2} + 1}}$：分母$x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，被开方数恒正，是二次根式。
⑥$\sqrt{m^{2} - 2m + 3}$：被开方数$m^2 - 2m + 3 = (m - 1)^2 + 2 ≥ 2 ＞ 0$，是二次根式。
一定是二次根式的有①④⑤⑥，共4个。

要使式子$\sqrt{m + 1} + (m - 2)^{0}$有意义，需要满足以下条件：
1. $\sqrt{m + 1}$有意义，即被开方数非负：$m + 1 ≥slant 0$，解得$m ≥slant -1$。
2. $(m - 2)^{0}$有意义，即底数不为0：$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
综合以上两个条件，$m$的取值范围是$m ≥slant -1$且$m ≠ 2$。

因为$1≤slant a≤slant 2$，所以$a - 1≥slant 0$，$a - 2≤slant 0$。
$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1| = a - 1$，
$|a - 2| = 2 - a$，
则原式$= (a - 1) + (2 - a) = 1$。

将20分解质因数得$20=2^{2}×5$，根据根式化简规则$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{20}=\sqrt{2^{2}×5}=2\sqrt{5}$。

由数轴知：$b ＜ 0 ＜ a ＜ 1$，则$a - b ＞ 0$，$1 - a ＞ 0$。
原式应为$\sqrt{(a - b)^2} - \sqrt{(1 - a)^2}$（原题可能存在笔误，根号下应为平方项以保证有意义）。
$\sqrt{(a - b)^2} = |a - b| = a - b$，$\sqrt{(1 - a)^2} = |1 - a| = 1 - a$。
故原式$=(a - b) - (1 - a) = 2a - b - 1$。