A. $x + 2y = 4$：含有两个未知数，不是一元二次方程。
B. $3x = 4$：未知数的最高次数为1，不是一元二次方程。
C. $x = 2x^3 + 4$：未知数的最高次数为3，不是一元二次方程。
D. $x^2 - 2 = 9$：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程。

将方程$x^{2}=3x$移项得到$x^{2}-3x = 0$，然后提取公因式$x$，可得$x(x - 3)=0$。根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，得到$x=0$或$x - 3 = 0$，即$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。

将方程$x^2 - 8x + 2 = 0$移项得$x^2 - 8x = -2$，配方得$x^2 - 8x + 16 = -2 + 16$，即$(x - 4)^2 = 14$。

根据题意，关于$x$的方程$mx^2 + 5x + m^2 - 2m = 0$的常数项为0，即$m^2 - 2m = 0$，且$m \neq 0$（因为是一元二次方程，二次项系数不能为0）。
解方程$m^2 - 2m = 0$，可得$m(m - 2) = 0$，解得$m = 0$或$m = 2$，但由于$m \neq 0$，所以$m = 2$。

因为一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0(a\neq0)$的解是$x = 1$，将$x=1$代入方程得$a×1^2 + b×1 + 1 = 0$，即$a + b + 1 = 0$，所以$a + b = -1$。则$2024 - 2a - 2b = 2024 - 2(a + b) = 2024 - 2×(-1) = 2024 + 2 = 2026$。

根据题意，方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - 2x = 3$是关于$x$的一元二次方程，因此需要满足以下条件：
1. 方程中$x$的最高次数为2，即$|m| + 1 = 2$。
2. 方程中$x^2$的系数不为0，即$m - 1 \neq 0$。
由$|m| + 1 = 2$，可得$|m| = 1$，即$m = 1$或$m = -1$。
由$m - 1 \neq 0$，可得$m \neq 1$。
综上，$m = -1$。

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。在方程$3x^2 + 6x - 4 = 0$中，$a = 3$，$b = 6$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{6}{3} = -2$。

对于方程$3x^2 - 6x + m = 0$，判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×3×m = 36 - 12m$。因为方程有两个不等实根，所以$\Delta ＞ 0$，即$36 - 12m ＞ 0$，解得$m ＜ 3$。在数轴上表示为从3向左的射线，3处为空心圆圈，选项B符合。

已知方程有两个实数根，则判别式 $ \Delta \geq 0 $，即：
$ \Delta = [2(m - 1)]^2 - 4 · 1 · (m^2 - m) = 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - m) $。
化简得：
$ 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 4m = -4m + 4 \geq 0 $，
即：$ m \leq 1 $。
根据根与系数的关系，有：
$ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -2(m - 1) = 2 - 2m $，
$ \alpha\beta = \frac{c}{a} = m^2 - m $。
已知 $ \alpha^2 + \beta^2 = 12 $，利用平方和公式：
$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $，
代入已知条件：
$ 12 = (2 - 2m)^2 - 2(m^2 - m) $，
化简得：
$ 12 = 4 - 8m + 4m^2 - 2m^2 + 2m $，
$ 12 = 2m^2 - 6m + 4 $，
整理为标准形式：
$ 2m^2 - 6m - 8 = 0 $，
$ m^2 - 3m - 4 = 0 $，
因式分解：
$ (m - 4)(m + 1) = 0 $，
解得：
$ m = 4 \quad 或 \quad m = -1 $。
由于之前得出 $ m \leq 1 $，因此 $ m = 4 $ 不满足条件，舍去。
所以 $ m = -1 $。

设这个小组共有$x$人，由于每两个人之间需要互送贺卡，则每个人需要送$x - 1$张贺卡，所以共送$x(x - 1)$张贺卡．
根据题意，得$x(x - 1) = 72$，整理得$x^{2} - x - 72 = 0$，
因式分解得$(x - 9)(x + 8) = 0$，
解得$x_{1} = 9$，$x_{2} = - 8$（不合题意舍去）。
所以这个小组共有$9$人。