答案：$(1)$ 把数字$1\sim5$分别填入图$1$的方格中
中间数设为$a$，同一行或同一列相邻三个数字和为$S$。
设十字形图中，横向三个数为$x$、$a$、$y$，纵向三个数为$m$、$a$、$n$，则$x + a+ y=m + a + n$，即$x + y=m + n$。
$1 + 2+3 + 4+5 = 15$，因为$x + a+ y=m + a + n$，所以$15 + a$能被$2$整除（横向和与纵向和相加，中间数$a$多加了一次），$a = 3$。
此时$x + y=m + n=15 - 3=12$，$1 + 5=2 + 4 = 6$，所以一种填法为（答案不唯一）：
第一行：$1$；
第二行：$2$、$3$、$4$；
第三行：$5$。
$(2)$ 把数字$1\sim7$分别填入图$2$的方格中
设中间数为$b$，同一行或同一列相邻三个数字和为$T$。
$1+2 + 3+\cdots+7=\frac{7×(7 + 1)}{2}=28$ ，因为图形中有两行三列（有重复计算中间数），$28 + 2b$能被$3$整除（三行或三列的和）。
当$b = 4$时，$(28+2×4)÷3 = 12$。
然后找和为$12 - 4=8$的数对：$1 + 7=2 + 6=3 + 5 = 8$。
一种填法为（答案不唯一）：
第一行：$1$、$7$、$4$；
第二行：$2$；
第三行：$3$、$5$、$6$。
$(3)$ 设计一个图形并制定规则填数
设计一个九宫格图形，规则为：使每行、每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等（幻方）。
例如：把数字$1\sim9$填入九宫格中，中间数填$5$（因为$1 + 2+\cdots+9=\frac{9×(9 + 1)}{2}=45$，$45÷3 = 15$，$15÷3 = 5$），然后根据$1 + 9=2 + 8=3 + 7=4 + 6 = 10$，可以得到一种填法：
第一行：$8$、$1$、$6$；
第二行：$3$、$5$、$7$；
第三行：$4$、$9$、$2$。
综上，$(1)$答案（不唯一）：第一行$\boldsymbol{1}$；第二行$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{4}$；第三行$\boldsymbol{5}$。$(2)$答案（不唯一）：第一行$\boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{7}$、$\boldsymbol{4}$；第二行$\boldsymbol{2}$；第三行$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{6}$。$(3)$答案（示例）：设计九宫格，规则是每行、每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，填法为第一行$\boldsymbol{8}$、$\boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{6}$；第二行$\boldsymbol{3}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{7}$；第三行$\boldsymbol{4}$、$\boldsymbol{9}$、$\boldsymbol{2}$。