Question

12．一底面积为500cm²的容器内盛有放入一定量的水，且水深为30cm，如图（a）所示，现将一质量为2000g的密闭正方体空心铁盒A放入水中时，空心铁盒有$\frac{3}{4}$浮出水面，如图（b）所示；试求：
（1）放入铁盒后，水对容器底的压强；
（2）若此时再在铁盒A上放一个小磁块B，铁盒A刚好能全部浸没，如图（c）；将A和B倒置后，A有$\frac{1}{15}$的体积露出水面，如图（d）．求：小磁块的密度．

Answer 1

分析 （1）根据漂浮条件F_浮=G计算出空心铁盒受到的浮力；根据阿基米德原理计算出排开水的体积；根据体积计算公式V=Sh计算出液体上升的高度；最后根据p=ρgh计算出水对容器底的压强；
（2）利用漂浮的条件，根据物体在不同状态下的排水体积，用公式列出等式，再根据等量关系计算得出小磁铁B的密度与水的密度的关系，最终求出小磁铁密度的大小．

解答 解：（1）空心铁盒漂浮，根据漂浮条件F_浮=G=2000×10^-3kg×10N/kg=20N，
由阿基米德原理F_浮=ρ_水gV_排得，排开水的体积：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{20N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=2×10^-3m³，
容器内水上升的高度h=$\frac{V}{S}$=$\frac{2×1{0}^{-3}{m}^{3}}{500×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.04m，
水对容器底的压强p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（0.3m+0.04m）=3.4×10³Pa．
（2）设空心盒体积为V_A，B的质量为m_B，体积为V_B，
A放入水中，有$\frac{3}{4}$浮出水面，
则F_浮=G_A，即ρ_水g$\frac{1}{4}$V_A=m_Ag------------①
V_A=$\frac{4{m}_{A}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{2×2kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=4×10^-3m³．
B放上后，铁盒恰好浸没在水中，
则F_浮′=G_A+G_B，ρ_水gV_A=m_Ag+m_Bg------②
倒置在水中，F_浮′=G_A+G_B，
则 （1-$\frac{1}{15}$）V_Aρ_水g+V_Bρ_水g=m_Ag+m_Bg-----③
由①②，则m_B=3m_A，
由②③可得V_B=$\frac{1}{15}$V_A，
所以ρ_B=$\frac{{m}_{B}}{{V}_{A}}$=$\frac{3{m}_{A}}{\frac{1}{15}{V}_{A}}$=$\frac{45{m}_{A}}{{V}_{A}}$，
再据①式得：$\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{1}{4}$ρ_水，
所以ρ_B=$\frac{45}{4}$ρ_水=$\frac{45}{4}$×1×10³kg/m³=1.125×10⁴kg/m³．
答：（1）放入铁盒后，水对容器底的压强为3.4×10³Pa．
（2）小磁块的密度为1.125×10⁴kg/m³．

点评 本题考查了液体压强、阿基米德原理、重力和密度等公式的灵活运用，．解决此题的关键是利用公式和浮沉条件找等量关系，列等式，并通过寻找小磁铁密度与水的密度的关系，最终求出小磁铁的密度．