Question

8．如图，半径为R的光滑圆环竖直放置，质量为m的小球在其轨道内运动，小球在最高点A时的速度为v=$\sqrt{2gR}$，小球的机械能守恒，已知物体动能大小E_k=$\frac{1}{2}$mv²，重力势能E_p=mgh．
①小球经过最低点C时的速度v_C=$\sqrt{6gR}$；．
②小球的速度v与角速度ω（单位时间内转过多少角度）、转动半径R的关系为v=ωR，小球到达位置B时的角速度为ω_B，请推理证明：ω_B=$\sqrt{\frac{3g}{R}}$．

Answer 1

分析 （1）小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒，设小球到达最低点时的速度大小为v_C，根据机械能守恒定律列式即可求解；
（2）根据机械能守恒定律求出B点速度，由圆周运动角速度ω与线速度v的关系，得小球在B点的角速度．

解答 解：（1）小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒，设小球到达最低点时的速度大小为v_C，根据机械能守恒定律
mg2R+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_C²                            
解得v_C=$\sqrt{6gR}$；                        
（2）设小球运动到B点时的速度大小为v_B，根据机械能守恒定律
mgR（1-sin30°）+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_B²         
解得：v_B=$\sqrt{3gR}$；             
由圆周运动角速度ω与线速度v的关系，得小球在B点的角速度
ω_B=$\frac{{v}_{B}}{R}$=$\sqrt{\frac{3g}{R}}$．
故答案为：（1）$\sqrt{6gR}$；（2）证明过程略．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律及圆周运动向心力公式、角速度与线速度的关系，理解和熟记相应的公式是关键．