Question

7．一条河道被一行窄而浅的沙石隔成两条流速不同的支流．船从岸边A点开始渡河到对岸，船相对水的速度大小始终不变．已知船渡河的最短路径如图所示，船最终到达了对岸B点，船先后渡过两条支流的时间恰好相等，且α=53°，β=37°．则两条支流的水速之比v₁：v₂=3：4，两条支流的宽度之比d₁：d₂=3：4．

Answer 1

分析 （1）知道船渡河的最短路径时需要船头指向应该与位移轨迹垂直，然后根据三角函数分别表示出船相对水的速度，根据船相对水的速度大小始终不变，即可求出比值．
（2）根据求出的速度比值，利用s=vt和三角函数表示的宽度关系求出比值．

解答 解：（1）由于船渡河的最短路径，则运动时船头指向应该与位移轨迹垂直，如图：

则由图可知：v_船=v₁sinα=v₁sin53°=v₁×0.8=0.8v₁，
v_船=v₂sinα=v₂sin37°=v₂×0.6=0.6v₂，
由于船相对水的速度大小始终不变，则0.8v₁=0.6v₂，
所以，v₁：v₂=3：4．
（2）由于船先后渡过两条支流的时间恰好相等，根据v=$\frac{s}{t}$可知s=vt，
则船航行路程：
s₁：s₂=vt：v′t=v：v′=v₁cosα：v₂cosβ=v₁cos53°：v₂cos37°=3×0.6：4×0.8=9：16，
由图可知：
d₁：d₂=s₁sin53°：s₂sin37°=9×0.8：16×0.6=3：4．
故答案为：3：4；3：4．

点评 本题考查速度公式的应用，关键是注意本题中的两个相等的条件：船相对水的速度大小始终不变，船先后渡过两条支流的时间恰好相等；难点是知道船渡河的最短路径时运动时船头指向应该与位移轨迹垂直；同时本题考查速度的合成，会利用三角函数，熟练应用数学知识解答本题中的各边之间的关系．