Question

20．一只粗细均匀的长直蜡烛，在它底端粘一小铁块，使其能直立地漂浮在水中，上端有h₀长度露出水面，若将蜡烛点燃，蜡烛因燃烧而长度逐渐减小的速度为V₀，则这只蜡烛能燃烧的时间为$\frac{{ρ}_{水}{h}_{0}}{（{ρ}_{水}-{ρ}_{蜡}）{v}_{0}}$．（己知水和蜡烛密度分别为ρ_水和ρ_烛）．

Answer 1

分析 （1）设蜡烛的长度L，蜡烛截面积S，铁的密度为ρ_铁．铁块受到浮力F，．根据蜡烛刚开始悬浮在水里，进行受力平衡分析然后列出等式①；
（2）蜡烛灭的时候，设蜡烛燃烧长度x，这时蜡烛的长度刚刚在水面，整个蜡烛长度的重力加铁重力刚好等于蜡烛的浮力加铁的浮力．进行受力平衡分析然后列出等式②；
（3）两式联立求得蜡烛燃烧长度，再根据“蜡烛因燃烧而长度逐渐减小的速度为V₀”，即可求出蜡烛燃烧的时间．

解答 解：（1）蜡烛刚开始悬浮在水里，受力平衡分析：蜡烛重力+铁重力=蜡烛的浮力+铁的浮力
ρ_蜡LSg+mg=ρ_水（L-h₀）Sg+F--------------①
（2）蜡烛灭的时候，设蜡烛燃烧长度x，这时蜡烛的长度刚刚在水面，整个蜡烛长度的重力加铁重力刚好等于蜡烛的浮力加铁的浮力．
蜡烛重力+铁重力=蜡烛的浮力+铁的浮力
②ρ_蜡（L-x）Sg+mg=ρ_水（L-x）Sg+F_铁
①-②得x=$\frac{{ρ}_{水}{h}_{0}}{{ρ}_{水}-{ρ}_{蜡}}$，蜡烛燃烧的时间t=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{{ρ}_{水}{h}_{0}}{（{ρ}_{水}-{ρ}_{蜡}）{v}_{0}}$．
故答案为：$\frac{{ρ}_{水}{h}_{0}}{（{ρ}_{水}-{ρ}_{蜡}）{v}_{0}}$．

点评 此题主要考查物体浮沉条件的应用和阿基米德原理，解答此题的关键是对蜡烛刚开始悬浮在水里，和蜡烛灭的时候，进行受力平衡分析，此外解答此题不仅要求学生具备一定的空间想象能力，而且要求学生的数学基础比较扎实，总之，此题对学生的要求比较高，是一道难题．