题目内容
有两艘潜艇一前一后，两者相距L，且两者始终保持相同的速度υ同向前进．后艇的水下声纳系统发出声纳信号，到达前面的艇时立即被反射回来．已知声纳信号在水中传播的速度为υ．（1）证明：后艇从发出信号到接收到反射回来的信号的时间为：t=
（2）通过对t=
这个数学式的讨论，说明当两艘艇处于何种状态时，后艇从发出信号到接收到反射回来的信号的时间最短．（3）如果从纯数学的角度来说，当υ=υ时，t=
的分母为零，是没有意义的．但是，这是一个表达一定的物理意义的式子．那么，从物理的角度说，当υ=υ时，t=
的分母为零意味着什么呢？
【答案】分析：（1）根据两者始终保持相同的速度υ同向前进，可得出信号向前面的艇传播时相对速度，和信号返回时，相对后潜水艇的速度，再根据两者相距L，利用速度公式变形可分别求出到达前面潜水艇的时间和到达后潜水艇的时间，二者相加即可．
（2）将t=
化简得
，然后根据v的取值讨论，可得出两潜水艇静止时，后艇从发出信号到接收到反射回来的信号的时间最短．
（3）从物理的角度说，当υ=υ时，t=
的分母为零意味信号不可能到达前面的潜水艇．
解答：解：（1）因L一定，两艘潜艇保持相同的速度υ同向前进．信号向前面的艇传播时，相对前面潜水艇的速度为：v-v，
到达前面潜水艇的时间为t1=
，信号返回时，相对后潜水艇的速度为：v+v，到达后潜水艇的时间为：t2=
．
则总时间为t=t1+t2，代入整理得t=
+根据
=
；
（2）由t=
=
得，当v=0时，v-
的值最大，则t最小，这说明当两潜水艇静止时，后潜水艇从发出信号到接收到反射回来的信号的时间最短．
（3）从纯数学的角度来说，当υ=υ时，t=
的分母为零，是没有意义的，但是，这是一个表达一定的物理意义的式子．那么，从物理的角度说，当υ=υ时，t=
的分母为零时，就意味的从后潜水艇发出的信号不可能到达前面的潜水艇，说明此时声纳系统失败．
点评：此题主要考查回声测距离的应用，解答此题的关键是灵活掌握速度公式的变形，难点是由t=
这个式子到
，对此要求数学基础比较好，因此学生具备一定的学科综合能力，此题属于难题．
（2）将t=
化简得
，然后根据v的取值讨论，可得出两潜水艇静止时，后艇从发出信号到接收到反射回来的信号的时间最短．（3）从物理的角度说，当υ=υ时，t=
的分母为零意味信号不可能到达前面的潜水艇．解答：解：（1）因L一定，两艘潜艇保持相同的速度υ同向前进．信号向前面的艇传播时，相对前面潜水艇的速度为：v-v，
到达前面潜水艇的时间为t1=
，信号返回时，相对后潜水艇的速度为：v+v，到达后潜水艇的时间为：t2=
．则总时间为t=t1+t2，代入整理得t=
+根据
=
；（2）由t=
=
得，当v=0时，v-
的值最大，则t最小，这说明当两潜水艇静止时，后潜水艇从发出信号到接收到反射回来的信号的时间最短．（3）从纯数学的角度来说，当υ=υ时，t=
的分母为零，是没有意义的，但是，这是一个表达一定的物理意义的式子．那么，从物理的角度说，当υ=υ时，t=
的分母为零时，就意味的从后潜水艇发出的信号不可能到达前面的潜水艇，说明此时声纳系统失败．点评：此题主要考查回声测距离的应用，解答此题的关键是灵活掌握速度公式的变形，难点是由t=
这个式子到
，对此要求数学基础比较好，因此学生具备一定的学科综合能力，此题属于难题． 
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