Question

13．如图（a）所示，放在水平面上的实心圆柱体A、B由不同材料制成，A的密度是B的一半．它们的高度均为H．A的质量是B的三分之一．如图（b）所示，若在A、B上沿水平方向截去某一相同的厚度h，并将所截去的部分均叠放至对方剩余部分上表面的中央．当截去厚度h时，恰能使叠放后的物体A′、B′对地面的压强相等．求：h与H之比．（可用分式表示）

Answer 1

分析 根据实心圆柱体A的密度是B的一半，从而可知密度之比，A的质量是B的三分之一．它们的高度均为H．利用其体积可求出其底面积之比，然后根据在甲、乙上沿水平方向截去某一相同的厚度h，并将所截去的部分均叠放至对方剩余部分上表面的中央．恰能使叠放后的物体A′、B′对地面的压强相等．列出等式解答．

解答 解：由实心圆柱体A的密度是B的一半，则密度之比为ρ_A：ρ_B=1：2，或ρ_B=2ρ_A，
由于A的质量是B的三分之一，则质量之比为m_A：m_B=1：3，
它们的高度均为H．则根据ρ=$\frac{m}{V}$和V=Sh得S=$\frac{V}{h}$=$\frac{\frac{m}{ρ}}{h}$=$\frac{m}{ρh}$，
则$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{{m}_{A}}{{ρ}_{A}H}$：$\frac{{m}_{B}}{{ρ}_{B}H}$=$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$×$\frac{{ρ}_{B}}{{ρ}_{A}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{1}$=$\frac{2}{3}$，
当截去厚度h时，叠放后的物体A′、B′对地面的压力分别为：
F_A′=G_A-△G_A+△G_B=ρ_AgS_AH-ρ_AgS_Ah+ρ_BgS_Bh；
F_B′=G_B-△G_B+△G_A=ρ_BgS_BH-ρ_BgS_Bh+ρ_AgS_Ah；
由于叠放后的物体A′、B′对地面的压强相等，则p_A′=p_B′，
即：$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$，
所以，$\frac{{ρ}_{A}{gS}_{A}H-{ρ}_{A}{gS}_{A}h+{ρ}_{B}{gS}_{B}h}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{B}{gS}_{B}H-{ρ}_{B}{gS}_{B}h+{ρ}_{A}{gS}_{A}h}{{S}_{B}}$，
整理得：ρ_AH-ρ_Ah+ρ_Bh×$\frac{{S}_{B}}{{S}_{A}}$=ρ_BH-ρ_Bh+ρ_Ah×$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$；
即：ρ_AH-ρ_Ah+2ρ_Ah×$\frac{3}{2}$=2ρ_AH-2ρ_Ah+ρ_Ah×$\frac{2}{3}$；
解得：$\frac{h}{H}$=$\frac{3}{10}$．
答：h与H之比为3：10．

点评 本题考查了压力，压强的计算，甲乙上沿水平方向分别截去相同的厚度h后．甲乙剩余部分对水平地面的接触面积不变，这是此题的关键，在解题时要记住相关公式，灵活运用密度公式解决问题，此题的难点在于压强等式的列出，解答也要非常认真，仔细，否则后导致出错．