Question

8．科学小组设计了一个给工件镀膜的电路模型，通过改装电压表来观察和控制工件放入镀膜中的深度．如图，电源电压恒定，R₀为定值电阻，在压敏电阻R_X上放有托盘，托盘上放有容器（不计托盘和容器的质量），容器内装有40N 的水．闭合开关，用轻质杠杆连接不吸水的圆柱体工件，将工件两次浸入水中（均未浸没且不触底，水未溢出），第一次工件下表面距水面 2cm，电压表示数为 6V，杆的作用力为 10N；第二次工件下表面距水面6cm，电压表示数为4V，杆的作用力为6N．压敏电阻上表面的受力面积为20cm²，其电阻值R_X随压力F的变化关系如表． g取 10N/kg，ρ_水=1.0×10³kg/m³，求：

F/N	42	44	46	48	…	62	64
RX/Ω	28	22	18	16	…	9	8

（1）工件未浸入水中时，压敏电阻所受的压强．
（2）工件下表面距水面 2cm时，其下表面所受水的压强．
（3）为使工件浸入镀膜液中的深度越深（未浸没），电压表的示数越大，从而控制镀膜情况，你认为应该怎样利用现有元件改进电路？
（4）在原设计电路中，如果工件两次浸入水中压敏电阻所受压强的变化大于6000Pa，求该电路的电源电压．

Answer 1

分析 （1）不计托盘和容器的质量，压敏电阻受到的压力和水的重力相等，根据p=$\frac{F}{S}$求出压敏电阻所受的压强：
（2）知道工件下表面所处的深度，根据p=ρgh求出下表面所受水的压强；
（3）由题意可知，工件下表面距水面2cm到6cm时，电压表示数从6V变为4V，即电压表所测R_x两端的电压越小，电源的电压不变，根据串联电路的电压特点可知R₀两端的电压变化，据此进行解答；
（4）工件下表面距水面2cm到6cm时，把工件和水看做整体受力分析求出容器受到的支持力，根据压敏电阻受到的压力与工件和水受到的支持力是一对相互作用力求出压敏电阻所受压力的变化量，根据p=$\frac{F}{S}$求出压敏电阻所受压力的变化量，判断出符合题意的情况；根据称重法表示出工件受到的浮力，根据阿基米德原理表示出受到的浮力，联立等式求出工件的底面积，进一步求出工件受到的浮力，因工件受到的浮力和工件对水的压力是一对相互作用力，容器对压敏电阻的压力等于水的重力和浮力之和，由表格数据可知对应压敏的电阻值，根据串联电路的电流特点和欧姆定律求出两种情况下电路中的电流，根据电阻的串联和欧姆定律表示出电源的电压，利用电源的电压不变得出等式即可求出R₀的阻值，进一步求出电源的电压．

解答 解：（1）不计托盘和容器的质量，压敏电阻受到的压力：
F=G=40N，
压敏电阻所受的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{40N}{20×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=2×10⁴Pa；
（2）工件下表面所受水的压强：
p′=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×2×10^-2m=200Pa；
（3）由题意可知，工件下表面距水面2cm到6cm时，电压表示数从6V变为4V，即电压表所测R_x两端的电压越小，
因电源的电压不变，且电源的电压不变，
所以，R₀两端的电压越大，
故使工件浸入镀膜液中的深度越深（未浸没），电压表的示数越大，电压表应并联在R₀的两端；
（4）工件下表面距水面2cm到6cm时，
a、设两次杆的作用力都是拉力，
把工件和液体看做整体，受到竖直向上的支持力、拉力，竖直向下的工件和水的重力，
由力的平衡条件可得，两种情况下有：
F_支持+F_拉=G_水+G_工件-----------①
F_支持′+F_拉′=G_水+G_工件-------②
②-①可得：
F_支持′-F_支持=F_拉-F_拉′=10N-6N=4N，
因压敏电阻受到的压力与工件和液体受到的支持力是一对相互作用力，
所以，压敏电阻所受压力的变化：
△F=F_支持′-F_支持=4N，
压敏电阻所受压力的变化量：
△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{4N}{20×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=2000Pa＜6000Pa，此种情况不符合题意；
b、设两次杆的作用力都是压力，
把工件和液体看做整体，受到竖直向上的支持力，竖直向下的工件和水的重力以及杆的压力，
由力的平衡条件可得，两种情况下有：
F_支持=F_拉+G_水+G_工件-----------③
F_支持′=F_拉′+G_水+G_工件-------④
③-④可得：
F_支持-F_支持′=F_拉-F_拉′=10N-6N=4N，
则压敏电阻所受压力的变化：
△F=F_支持′-F_支持=4N，
压敏电阻所受压力的变化量：
△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{4N}{20×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=2000Pa＜6000Pa，此种情况不符合题意
C、工件下表面距水面2cm到6cm时，排开水的体积变大，受到的浮力变大，
所以，杆上力开始为拉力，后为压力，
杆的作用力向上时，工件和容器受到竖直向上的支持力、拉力，竖直向下的工件和水的重力，
由力的平衡条件可得，受到的支持力：
F_支持+F_拉=G_水+G_工件-----------⑤
杆的作用力向下时，工件和容器受到竖直向上支持力，竖直向下的工件和水的重力、向下的压力，
由力的平衡条件可得，受到的支持力：
F_支持′=G_水+G_工件+F_拉′-------⑥
由⑥-⑤可得：
F_支持′-F_支持=F_拉′+F_拉=6N+10N=16N，
则压敏电阻所受压力的变化：
△F=F_支持′-F_支持=16N，
压敏电阻所受压力的变化量：
△p=$\frac{△F}{S}$=$\frac{16N}{20×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=8000Pa＞6000Pa，满足要求，
当第一次工件下表面距水面h₁=2cm=0.02m时，工件受到的浮力：
F_浮=G-F_拉，
由阿基米德原理可得：
F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gS_工件h₁，即ρ_水gS_工件h₁=G-F_拉---⑦
第二次工件下表面距水面h₂=6cm=0.06m，工件受到的浮力：
F_浮′=G+F_拉′=G+6N，
由阿基米德原理可得：
F_浮′=ρ_水gV_排′=ρ_水gS_工件h₂，即ρ_水gS_工件h₂=G+F_拉′---⑧
⑧-⑦可得：
S_工件=$\frac{F′+F″}{{ρ}_{水}g（{h}_{2}-{h}_{1}）}$=$\frac{10N+6N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×（0.06m-0.02m）}$=0.04m²，
则F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gS_工件h₁=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.04m²×0.02m=8N，
F_浮′=ρ_水gV_排′=ρ_水gS_工件h₂=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.04m²×0.06m=24N，
因工件受到的浮力和工件对水的压力是一对相互作用力，
所以，容器对压敏电阻的压力分别为：
F₁=G_水+F_浮=40N+8N=48N，F₂=G_水+F_浮′=40N+24N=64N，
由表格数据可知，对应压敏的电阻分别为R₁=16Ω，R₂=8Ω，
因串联电路中各处的电流相等，
所以，电路中的电流分别为：
I₁=$\frac{{U}_{x}}{{R}_{1}}$=$\frac{6V}{16Ω}$=0.375A，I₂=$\frac{{U}_{x}′}{{R}_{2}}$=$\frac{4V}{8Ω}$=0.5A，
因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，且电源的电压不变，
所以，电源的电压：
U=I₁（R₁+R₀）=I₂（R₂+R₀），即0.375A×（16Ω+R₀）=0.5A×（8Ω+R₀），
解得：R₀=16Ω，
电源的电压U=I₁（R₁+R₀）=0.375A×（16Ω+16Ω）=12V．
答：（1）工件未浸入水中时，压敏电阻所受的压强为2×10⁴Pa；
（2）工件下表面距水面 2cm时，其下表面所受水的压强为200Pa；
（3）将电压改接到与R₀并联．
（4）该电路的电源电压为12V．

点评 本题考查了液体压强公式和固体压强公式、阿基米德原理、称重法求浮力公式、串联电路的特点以及欧姆定律的应用，判断出两次杆作用力的方向和求出两次工件受到的浮力是关键．