Question

5．如图，边长为a，密度为$\frac{1}{2}$ρ的正方体木块，浸在底边为2a的方形水缸内，水密度为ρ，若用竖直向下的力F把木块缓慢地全部压入水中，力F对木块所做的功多少？

Answer 1

分析 当木块漂浮时G_木=G_排，知道密度大小关系，可得木块浸入水中的深度，此时压力为0；
木块完全浸没时，排开水的体积增大一倍，此时木块所受浮力增大一倍，此时压力最大，F_最大+G_木=F_浮，
就出最大压力，平均压力F=$\frac{1}{2}$（0+F_最大），求出下移距离，利用W=Fs求压力做功．

解答 解：
木块漂浮时G_木=G_排，
即：ρ_木V_木g=ρ_水V_排g，
$\frac{{V}_{排}}{{V}_{木}}$=$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{1}{2}$，
此时木块浸入水中的深度为$\frac{1}{2}$a，
此时，压力为0；
木块完全浸没时，排开水的体积增大一倍，此时木块所受浮力增大一倍
所以此时，F_最大+G_木=F_浮，
即：F_最大+ρ_木V_木g=ρ_水V_排g
因为V_排=V_木=a³，
所以F_最大=ρ_水V_排g-ρ_木V_木g=ρa³g-$\frac{1}{2}$ρa³g=$\frac{1}{2}$ρa³g，
平均压力F=$\frac{1}{2}$（0+F_最大）=$\frac{1}{2}$（0+$\frac{1}{2}$ρa³g）=$\frac{1}{4}$ρa³g，
从漂浮到刚浸没排开水的体积：
V_排′=$\frac{1}{2}$a³，
水面升高：
△h=$\frac{{V}_{排}′}{{S}_{容}}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{3}}{（2a）^{2}}$=$\frac{1}{8}$a，
木块下移距离：
s=$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{8}$a=$\frac{3}{8}$a，
压力做的功为：
W=Fs=$\frac{1}{4}$ρa³g×$\frac{3}{8}$a=$\frac{3}{32}$ρa⁴g．
答：力F对木块所做的功为$\frac{3}{32}$ρa⁴g．

点评 本题考查了功的计算，利用阿基米德原理和物体的漂浮条件求出平均压力是关键．