Question

1．问题解决--测量小琉璃球的密度
小雨有若干个相同的小琉璃球，他想知道小琉璃球的密度．他身边只有一个有杯盖的玻璃杯（粗细均匀）、一个盛着足够水的水桶和一把刻度尺．
（1）说明测量步骤．（配图说明，图画在方框内）；
（2）请你帮他推导出测量小琉璃球密度的数学表达式．

Answer 1

分析 没有天平和量筒，可以利用漂浮条件F_浮=G得到物体重力从而得到质量，利用排水法测物体的体积，从而得到物体的密度．

解答 解：
（1）测量步骤：
①将玻璃杯中装入适量的水，测出杯水的深度h₁；
②将玻璃杯放入桶里的水中，使其能竖直漂浮在水面上，用刻度尺测出玻璃杯浸入水中的深度h₂；
③取出玻璃杯，将琉璃球放入玻璃杯中，测出杯中水的深度h₃；
④将玻璃杯放入桶里的水中，使其能竖直漂浮在水面上，用刻度尺测出玻璃杯浸入水中的深度h₄．

（2）推导小琉璃球密度的数学表达式：
由①③可得琉璃球体积：V=S_杯（h₃-h₁），
由②可得杯和杯中水重G₁=F_浮1=ρ_水gV_排1=ρ_水gS_杯h₂，
由④可得杯和杯中水以及琉璃球总重G₂=F_浮2=ρ_水gV_排2=ρ_水gS_杯h₄，
琉璃球的重力：G=G₂-G₁=ρ_水gS_杯h₄-ρ_水gS_杯h₂=ρ_水gS_杯（h₄-h₂），
所以琉璃球的密度：ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{Vg}$=$\frac{{ρ}_{水}g{S}_{杯}（{h}_{4}-{h}_{2}）}{{S}_{杯}（{h}_{3}-{h}_{1}）g}$=$\frac{{h}_{4}-{h}_{2}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$•ρ_水．
故答案为：
（1）步骤：
①将玻璃杯中装入适量的水，测出杯水的深度h₁；
②将玻璃杯放入桶里的水中，使其能竖直漂浮在水面上，用刻度尺测出玻璃杯浸入水中的深度h₂；
③取出玻璃杯，将琉璃球放入玻璃杯中，测出杯中水的深度h₃；
④将玻璃杯放入桶里的水中，使其能竖直漂浮在水面上，用刻度尺测出玻璃杯浸入水中的深度h₄．
（2）ρ=$\frac{{h}_{4}-{h}_{2}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$•ρ_水．

点评 本题考查了密度测量的设计，测密度就是要想办法得到物体的质量和体积，关键是巧妙利用杯子漂浮时浮力等于重力间接得到琉璃球的重力．有一定难度．