Question

8．从高空下落的物体，速度越来越大，所受空气阻力也会速度的增大而增大，因此物体下落一段距离后将以某一速度做匀速直线运动，通常把这个速度称为收尾速度．
（1）一质量为0.2kg的小球在加速20s后，开始做匀速直线运动，求此时小球所受的空气阻力为多少？（g取10N/㎏）
（2）研究发现，相同环境条件下，空气对不同材料的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系，下表为某次研究的实验数据，根据表中的数据，求出编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比1：9．

小球编号	1	2	3	4	5
小球质量（×10-2kg）	2	5	45	40	80
小球半径（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2	4
小球的收尾速度（m/s）	16	40	40	20	10

（3）根据上述表格中的小球编号1、2，可探究出当球形物体所受的空气阻力f与收尾速度v成成正比．
（4）根据上述表格中的小球编号2、3，可探究出球形物体所受的空气阻力f与球的半径r的关系是：f与r²成正比．（语言描述和公式表达皆可，但要反映出定量关系）
（5）将第5列的空格应填80．

Answer 1

分析 （1）处于静止状态或匀速直线运动状态的物体受平衡力作用；
（2）当结尾速度相同时，小球做匀速运动，重力等于阻力，所以编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比等于他们的重力之比．
（3）物体做匀速直线运动时，重力与阻力是一对平衡力；根据1、2小球的数据找出重力与半径的关系，然后进一步的阻力与半径的关系；
（4）物体做匀速直线运动时，重力与阻力是一对平衡力；根据2、3小球的数据找出重力与速度的关系，然后进一步得出阻力与速度的关系；
（5）根据1、2的实验数据求出空气阻力与收尾速度的关系，然后求出编号为5的小球质量．

解答 解：
（1）质量为0.2kg的小球的重力：G=mg=0.2kg×10N/kg=2N，由于小球到达收尾速度时，小球受平衡力作用，则小球所受的空气阻力等于小球的重力，即f=G=2N；
（2）编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比：
f₂：f₃=m₂g：m₃g=m₂：m₃=5g：45g=1：9．
（3）由题知，相同环境条件下，空气对不同材料的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系；
所以，要探究球形物体所受的空气阻力f与收尾速度v 的关系，应控制半径不变，而收尾速度v不同，故应根据1、2小球的数据进行分析；
由1、2小球的数据分析可知，小球的质量之比为2：5，则重力之比为2：5；小球到达收尾速度时，阻力之比=重力之比=2：5；
1、2小球的收尾速度之比为v₁：v₂=16：40=2：5；
由以上分析可知，小球半径相同时，阻力之比=收尾速度之比，即球形物体所受的空气阻力f与收尾速度v成正比；
（4）由题知，相同环境条件下，空气对不同材料的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系；
所以，要探究球形物体所受的空气阻力f与球的半径r的关系，应控制收尾速度不变，而球的半径r不同，故应根据2、3小球的数据进行分析；
由编号为2、3的实验数据可知，小球受的空气阻力与小球半径的平方之比分别为：
$\frac{{f}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$=$\frac{{m}_{2}g}{{{r}_{2}}^{2}}$=$\frac{5×1{0}^{-2}kg×10N/kg}{（0.5×1{0}^{-3}m）^{2}}$=2×10⁵N/m²，$\frac{{f}_{3}}{{{r}_{3}}^{2}}$=$\frac{{m}_{3}g}{{{r}_{3}}^{2}}$=$\frac{0.45k×10N/kg}{（1.5×1{0}^{-3}m）^{2}}$=2×10⁵N/m²；
由此可知：
$\frac{{f}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$=$\frac{{f}_{3}}{{{r}_{3}}^{2}}$，由2、3实验数据可知，当小球的收尾速度相同时，空气阻力f与r的平方成正比．
（5）由编号为1、2的实验数据可知，在小球半径相同的情况下，小球所受空气阻力与收尾速度成正比，
比值为 $\frac{1}{8}$，即f=$\frac{1}{8}$v，由（2）可知，小球所受空气阻力与半径平方成正比，即f=br²，则f=$\frac{1}{8}$v×br²=kvr²，b、k为常数，
由编号为1、5的实验数据可知：$\frac{{f}_{1}}{{f}_{5}}$=$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{5}g}$=$\frac{2g}{{m}_{5}}$=$\frac{k{v}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{k{v}_{5}{{r}_{5}}^{2}}$=$\frac{16m/s×（0.5mm）^{2}}{10m/s×（4mm）^{2}}$，则m₅=80g；
故答案为：（1）小球所受的空气阻力为2N；（2）1：9；（3）1、2；成正比；（4）2、3；f与r²成正比；（5）80．

点评 本题考查收尾速度、小球半径以及阻力的关系，关键知道物体达到收尾速度时重力等于阻力，要学会应用控制变量法解题，还要学会分析数据．