题目内容

随着我国经济建设的快速发展，对各类石材的需求也不断增大．右图为某采石过程的示意图，电动机通过滑轮组和提篮匀速提升山下的石材，石材的密度为2.4×10³kg/m³，电动机第一次提升的石材的体积为 1.5m³，第二次石材的体积是第一次的 2 倍，第一次提升石材时整个提升系统的机械效率为 75%．忽略细绳和滑轮的重量及细绳与滑轮之间的摩擦，若两次石材被提升的高度均为 20m．（g=10N/kg）
（1）第一次提升石材电动机对绳的拉力，电动机所做的总功分别是多少？
（2）第二次提升石材时，滑轮组下端的挂钩对提篮的拉力和电动机所做的功分别是多少？
（3）第二次提升石材提升系统的机械效率是多少？

解：（1）石材的重力G₁=mg=ρVg=2.4×10³kg/m³×1.5m³×10N/kg=3.6×10⁴N；
电动机对绳的拉力F₁= $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1.2×10⁴N；
所以提篮的重力为G_提篮=4F₁-G₁=4×1.2×10⁴N-3.6×10⁴N=1.2×10⁴N；
W_总=F₁S=F₁×4h=1.2×10⁴N×4×20m=9.6×10⁵J；
（2）第二次提升石材时，滑轮组下端的挂钩对提篮的拉力F_总=G+G_提篮=G_提篮+2G₁=2×3.6×10⁴N+1.2×10⁴N=8.4×10⁴N
电动机所做的功W=FS= $\text{[math]}$ S= $\text{[math]}$ ×4×20m=1.68×10⁶J；
（3）第二次提升石材提升系统的机械效率是η= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≈85.7%．
答：（1）第一次提升石材电动机对绳的拉力为1.2×10⁴N；
电动机所做的总功是9.6×10⁵J；
（2）第二次提升石材时，滑轮组下端的挂钩对提篮的拉力为8.4×10⁴N；
电动机所做的功是1.68×10⁶J；
（3）第二次提升石材提升系统的机械效率是85.7%．
分析：（1）已知石材的体积和密度，根据公式m=ρV可求石材的质量，进一步求出其重力；再根据动滑轮上绳子的段数，求出电动机对绳的拉力，还知道物体被提升的高度，根据公式W=Gh可求有用功，还知道机械效率，进一步求出总功；
（2）根据题意可以求出第二次石材的重力，滑轮组下端的挂钩对提篮的拉力等于石材的重力与提篮的重力之和；进一步求出电动机对绳的拉力，根据公式W=FS求出电动机所做的功；
（3）已知物体的重力和拉力，根据公式η= $\text{[math]}$ 求出机械效率．
点评：本题考查重力、拉力、做功、机械效率的计算，关键是公式及其变形的灵活应用，难度不小，解题时一定要细心．