Question

13．某同学用一根两端封闭的装有少量水银圆柱形玻璃管来制作密度计，它的长度为L，外直径为d，管壁及上下两端的厚度均为h，总重量为G．
（1）请你证明密度计的刻度是不均匀的（可用设计实验方案的方法，也可用理论推导的方法．）
（2）若L=20×10^-2米，d=1.2×10^-2米，h=0.1×lO^-2米，并在管的下部装有1×lO^-6米³的水银．问用这样的密度计所能测出的最小的液体密度是多大？（玻璃的密度为2.6×10³千克/米³，水银的密度为13.6×10³千克/米³）

Answer 1

分析 （1）知道密度计的使用原理：密度计在使用时始终处于漂浮状态，即浮力大小等于重力大小，浮力不变．
求密度计在纯水中浸没的深度；
设计实验方案：取三种已知密度的液体，再用刻度尺量出任两个刻度间的长度△L₁和△L₂，然后将它们进行比较．
理论推导：利用密度计的浮力等于重力，求出排开液体体积的大小，再根据求出的体积，得出h的表达式，然后将它们进行比较．然后分析即可得出在其它因素均不变的情况下，密度越小，深度越大．
（2）求出密度计玻璃材料的体积，当密度计上部的圆柱形玻璃管全部浸没液面下，所测液体密度值为最小，再利用物体的漂浮条件和阿基米德原理求解．

解答 （1）证明：
若用实验来验证：
先取三种已知密度的液体，将所要制作的密度计的圆柱体材料依次放入这三种液体中平衡时在此圆柱上对应刻上这三个刻度ρ1、ρ2、P3．再用刻度尺量出任两个刻度间的长度△L₁和△L₂，然后将它们进行比较．若有长度差之比等于密度差，则密度计刻度是均匀的，如不相等则是不均匀．
理论推导：
由于密度计的原理是运用漂浮在液面上的物体其所受到的物体的浮力等于物体的重力：
则有：V_排液=Sh，F_浮液=G，
即ρ_液gV_排液=G，
所以，ρ_液gSh=mg，
则h=$\frac{m}{{ρ}_{液}S}$----------①
由此可知：用浸入液体的深度h可以间接表示液体的密度，故可将h作为刻度．若刻度要是均匀，则h与被测液体密度ρ_液ρ应成一次函数关系．从①可知h与ρ_液成反比，所以，密度计刻度是不均匀的．
（2）解：
密度计玻璃材料的体积为：
V_玻璃=$\frac{1}{4}$πd²L-$\frac{1}{4}$π（d-h）²（L-2h）=$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m）²×20×10^-2m-$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m-0.1×10^-2m）²×（20×10^-2m-2×0.1×10^-2m）=7.065×10^-6m²，
玻璃材料的重力为：G_玻璃=m_玻璃g=ρ_玻璃V_玻璃g=2.6×10³kg/m³×7.065×10^-6m²×9.8N/kg≈O．18N，
水银的重力为：G_水银=m_水银g=ρ_水银V_水银g=13.6×10³kg/m³×1×10^-6m²×9.8N/kg≈O．133N，
此密度计的总重量为：G=G_水银+G_玻=O．133N+O．18N=0.313N，
此密度计的总体积为：V=S（L+h）=$\frac{1}{4}$πd²L=$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m）²×20×10^-2m=2.2608×10^-5m²，
当将此密度计刚好全部沉人某液体中并达到平衡时，V_排=V，其所受浮力为F_浮=G=0.313N，
由F_浮=ρ_液V_排g得：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮}}{Vg}$=$\frac{0.313N}{2.2608×1{0}^{-5}{m}^{3}×9.8N/kg}$≈1.4×10³kg/m³；
即为此密度计所能测出液体的最小密度是1.4×10³kg/m³．
答：用这样的密度计所能测出的最小的液体密度是1.4×10³kg/m³．

点评 本题考查了液体密度的测量，涉及到物体浮沉条件、阿基米德原理等，会根据表达式得出判断可得是否均匀是关键．