Question

7．如图所示，用原长为6cm的轻弹簧将边长为10cm的正方体物块A的下表面与底面积为200cm²的圆柱形容器底部相连，正方体物块竖直压在弹簧上且不与容器壁接触，此时弹簧的长度为1cm；然后向容器内缓慢加水，当弹簧的长度恰好恢复到原长时停止加水；接着再将一小铁块M轻压在正方体物块上，正方体刚好没入水中（水始终未溢出），此时弹簧缩短的长度为L．已知：弹簧的长度每改变1cm，所受力的变化量为1N，求：
（1）正方体A的质量；
（2）弹簧缩短的长度L；
（3）小铁块M的质量．

Answer 1

分析 （1）首先根据原来弹簧的弹簧的长度变化量与受力的关系求出A的重力、进而求出质量；
（2）以物块和铁块组成的整体为研究对象进行受力分析，计算物体A所受合力，判断长度变化量；
（3）现将一小铁块轻压在正方体物块上，此时正方体物块刚好没入水中，计算出此时弹簧缩短的长度，以物块和铁块组成的整体为研究对象进行受力分析，根据平衡关系得出铁块的重力，从而计算出其质量．

解答 解：（1）正方体物块竖直压在弹簧上且不与容器壁接触，弹簧原长为6cm，此时弹簧的长度为1cm，弹簧由6cm变为1cm，缩短了5cm；由于弹簧的长度每改变1cm，所受力的变化量为1N，故物体A对弹簧的压力为5N，即物块的重力为5N，质量：m_A=$\frac{{G}_{A}}{g}$=$\frac{5N}{10N/kg}$=0.5kg=500g；
（2）倒入水后，弹簧恢复原长（无弹力），则F_浮=G_A=5N，根据F_浮=ρ_水gV_排得，
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{5N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=5×10^-4m³；
所以物体浸入水中的深度h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{物}}$=$\frac{5×1{0}^{-4}{m}^{3}}{10×10×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.05m；
由题意知，物体全部浸没时，F_浮′=ρ_水gV_排′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（0.1m）³=10N；
物体浸入水中的深度增加了：0.1m-0.05m=0.05m，
当在物块上面加铁块，在物块下降的同时水面会上升，又因为物块的底面积为100cm²，容器的底面积为200cm²，所以物体周围的面积为200cm²-100cm²=100cm²，则物块下降的距离与水面上升的距离相等，因此弹簧的长度减小了：$\frac{1}{2}$×0.05m=0.025m=2.5cm；
（3）因为弹簧的长度减小了2.5cm，此时弹簧对物块的支持力为F₂=2.5N；
以物块和铁块组成的整体为研究对象进行受力分析：F_浮′+F₂=G+G_铁，
则G_铁=F_浮′+F₂-G=10N+2.5N-5N=7.5N；
m_铁=$\frac{{G}_{铁}}{g}$=$\frac{7.5N}{10N/kg}$=0.75kg=750g．
答：（1）正方体A的质量为500g；
（2）弹簧缩短的长度L为2.5cm；
（3）小铁块M的质量为750g．

点评 此题考查了有关浮力的计算，要掌握阿基米德原理，并能对公式进行变形，对各种情况进行正确地受力分析，得出物块完全浸没时弹簧缩短的长度是此题的难点，总之此题的综合性较强，难度较大．