Question

3．某工厂设计了一个蓄水池，如图25所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不变．罐底有一个小出水口，面积为S₁，S₁=0.1m²．孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连，S₂=0.24m²．杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱体浮子，横截面积为S₃，S₃=0.8m²，BO是杠杆总长的$\frac{1}{3}$．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h₂，h₂=0.7m，活塞恰好能赌住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有一小段距离△h时，浮子便不再上浮，此时浮子浸入水深为h₃，h₃=1m，为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的质量减去一部分，设减去的质量为m′．（g取10N/kg，杠杆水平时，认为BO仍是杠杆总长的$\frac{1}{3}$，活塞及连杆和杠杆的质量均不计，杠杆所受浮力不计，浮子浸入水中体积变化引起的蓄水池液面变化忽略不计，ρ_水=1×10³kg/m³）试求
（1）按原设计活塞堵住出水口后，活塞受到水的压力为多大？
（2）求△h是多少？
（3）浮子应减去质量m′是多少？

Answer 1

分析 （1）利用p=ρgh计算活塞受到水的压强，然后利用p=$\frac{F}{S}$计算活塞受到水的压力；
（2）活塞上升的高度即为O点上升的距离．杠杆由原来的位置到水平位置，浮子进入水中的深度由现在的深度h3上升到设计的h2，同时O点上升到D点．通过两次位置的变化，得到一对相似三角形，利用相似形的对应边成比例可以求得OD的长度，即活塞上升的高度．
（3）以倾斜的杠杆为研究对象，分析出对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子原来的重力．
以水平的杠杆为研究对象，分析出此时对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子现在的重力．
两次重力之差即为减去的浮子的重力，从而得到减去的浮子的质量．

解答 解：（1）按原设计活塞堵住出水口时，活塞到A罐水面的高度h₁=3m，
活塞受到水的压强：p₁=ρ_水gh₁=1.0×10³kg/m³×10N/kg×3m=3×10⁴Pa，
活塞受到水的压力：F=p₁S₁=3×10⁴Pa×0.1m²=3×10³N；
（2）设浮子原来重力为G，杠杆平衡时处于倾斜状态，如图甲所示，

当杠杆由倾斜状态变为水平状态时，杠杆C端上升高度为h_EC=h₃-h₂，
根据几何知识可知，△BDO相似于△BEC，
所以，$\frac{BO}{BC}$=$\frac{DO}{EC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BO}{BC}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
活塞上升高度△h=h_DO=$\frac{1}{3}{h}_{EC}$=$\frac{{h}_{3}-{h}_{2}}{3}$=$\frac{1m-0.7m}{3}$=0.1m；
（3）①浮子减重前，根据上图可知，活塞到A罐水面的高度h′=h₁+△h=3m+0.1m=3.1m．
此时O点受到的力：F_压=ρ_水gh′S₂=10³kg/m³×10N/kg×0.24m²×3.1m=7440N，
浮子受浮力和重力，设它们的合力为F_合，方向竖直向上（只有浮子的合力方向向上时才能使杠杆平衡）．
根据杠杆平衡条件有：F_合L_BE=F_压L_BD，
所以${F}_{合}=\frac{{F}_{压}{L}_{BD}}{{L}_{BE}}=7440N×\frac{1}{3}=2480N$
根据题意可知，此时浮子浸入水深为h₃，此时浮子受到的浮力：
${F}_{浮}={ρ}_{水}g{S}_{3}{h}_{3}=1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg$×0.8m²×1m=8000N
杠杆平衡时，以浮子为研究对象，浮子受到的合力F_合=F_浮-G，
则浮子原来的重G=F_浮-F_合=8000N-2480N=5520N．
②浮子减重后，杠杆平衡时，如图所示

活塞能堵住出水口，由1小题可知，O点受到的力F_压′=3000N．
浮子减重后，设此时浮子受到的合力为F_合′，
根据杠杆平衡条件有：F_合′×L_BC=F_压′×L_BO，
所以F_合′=$\frac{{F}_{压}′×{L}_{BO}}{{L}_{BC}}=3000N×\frac{1}{3}=1000N$
根据题意可知，此时浮子浸入水深为h₂，此时浮子受到的浮力：
F_浮′=ρ_水gS₃h₂=10³kg/m³×10N/kg×0.8m²×0.7m=5600N
浮子减重后，设浮子的重为G₁，
杠杆平衡时，以浮子为研究对象，浮子受到的合力F_合′=F_浮′-G₁．
则浮子现在的重G₁=F_浮′-F_合′=5600N-1000N=4600N
所以，浮子减去的重G′=G-G₁=5520N-4600N=920N
浮子减去的质量m′=$\frac{G′}{g}$=$\frac{920N}{10N/kg}$=92kg．
答：（1）按原设计活塞堵住出水口后，活塞受到水的压力为3×10³N；
（2）△h是0.1m；
（3）浮子应减去质量m′是92kg．

点评 以杠杆的平衡条件为桥梁，将浮子受到的重力，浮力以及水池内水对活塞的压力联系起来，得到关于这几个力的方程，然后利用阿基米德原理将浮子受到的浮力表示出来，利用液体压强的特点和压力的计算公式将水对活塞的压力表示出来，即可求出浮子的重力．从而可以求得浮子减去的质量．
对浮子和活塞进行受力分析是解决此题的关键．