Question

20．小明要测出未知电阻R_x的阻值，把一个阻值一直的电阻R₀、电压表、电源（电压未知）、开关各一、以及导线若干连成电路（电路图如甲图所示），当开关闭合后，电压表能测出电阻R₀两端的电压U₀、此时只要再测出电源电压U，就能够根据$\frac{{R}_{x}}{{R}_{0}}$=$\frac{U-{U}_{0}}{{U}_{0}}$，求出未知电阻R_x的阻值．

（1）证明式子$\frac{{R}_{x}}{{R}_{0}}$=$\frac{U-{U}_{0}}{{U}_{0}}$成立．
（2）按如图甲所示的电路图，在图乙中连接电路．（电压表选大量程）
（3）在上述电路中加装导线和一个开关，使之只通过开关的控制，分别测出串联电路中R₀两端的电压U₀和测出电源电压U，请在图丙中的方框内完成电路图的设计．

Answer 1

分析 （1）未知电阻R_x和阻值已知的电阻R₀串联；串联电路中，各用电器两端的电压之和等于电源电压，可计算出电阻R_x的电压，根据欧姆定律分别表示出两电阻的电流，根据串联电路的电流关系列等式推导出结论；
（2）根据电路图连接实物图，可采用“电流流向法”，从电源的正极出发，按照电流的流向，先串主电路，再将电压表并在待测电阻的两端．
（3）被测电阻和已知阻值的定值电阻串联，电压表先测出定值电阻R₀两端的电压U₀，由欧姆定律求出电路电流；然后把电压表并联在待测电阻两端，测出待测电阻电压，由欧姆定律计算出待测电阻阻值；在允许一次连接时，可以利用开关将其中一个电路短路，测出电源电压．

解答 解：（1）电阻R_x和电阻R₀串联接入电路，电流相等，即I_x=I₀，
根据串联电路的电压关系可知，电阻R_x的两端的电压为U_x=U-U₀，
由欧姆定律I=$\frac{U}{R}$和等式I_x=I₀得，
$\frac{U-{U}_{0}}{{R}_{x}}$=$\frac{{U}_{0}}{{R}_{0}}$，
公式变形可得：$\frac{{R}_{x}}{{R}_{0}}$=$\frac{U-{U}_{0}}{{U}_{0}}$；
（2）采用“电流流向法”，电流从电源正极出发，依次将开关、电阻R₀、电阻R_x串联起来回到电源的负极，再将电压表并联在电阻R₀的两端，如下图所示：

（3）由题意可得，只用一只电压表来分别测出定值电阻两端的电压U₀和电源电压U，通过串联电路电压关系U=U₀+U_x，计算出R_x两端的电压．
因此开关S′断开时，用电压表测出U₀两端电压，再通过开关的切换，即开关S′闭合时测出电源电压，设计出电路图如图所示：

答：（1）证明过程如上；（2）连接电路如上图；（3）设计电路如上图所示．

点评 本题考查了串联电路分压原理表达式的证明、实物电路的连接，以及设计电路图的能力，有一定的难度；伏安法测电阻是测量未知电阻阻值的常用方法，在没有电流表的情况下，可以利用电压表与已知阻值的定值电阻代替电流表是常用的方法，要熟练掌握．