Question

11．在面积很大的游泳池水面上漂浮着一边长为1米的正方体均匀木块，开始时木块静止，如图甲所示．现用力F将木块匀速向下压，力F随着木块浸没水中深度H的变化关系如图乙所示．求：
（1）正方体木块的密度为多少？
（2）木块匀速下沉过程中，力F的最大值为多少？
（3）木块开始下沉到恰好完全浸没的过程中，请通过计算判断：木块的重力对木块做的功和力F对木块做的功是否相等．

Answer 1

分析 ①知道立方体木块的边长求出木块的体积，由图可知H=$\frac{3}{4}$a时施加的压力为零，根据体积公式求出排开水的体积，根据物体漂浮时受到的浮力和自身的重力相等以及阿基米德原理得出等式即可求出木块的密度；
②物体浸没时排开水的体积和自身的体积相等，根据阿基米德原理求出木块受到的浮力，当木块全部没入水后中匀速下沉过程中，木块受到的浮力等于木块重加上手对木块的压力，据此求出手对木块的最大压力；
③木块开始下沉到恰好浸没的过程中，由图可知物体重心下降$\frac{1}{4}$a，根据W=Gh求重力所做的功，根据面积公式算出F做的功．

解答 解：（1）木块的体积V_木=a³=1m³
由图可知，木块底面深度H=$\frac{3}{4}$a时，压力F=0，则木块浸在水中的体积：
V_排=a×a×$\frac{3}{4}$a=$\frac{3}{4}$a³，
最初木块处于漂浮状态，由F_浮=ρ_水gV_排和F_浮=G=mg=ρVg可得：
F_浮=ρ_水gV_排=ρ_木V_木g，即ρ_水g$\frac{3}{4}$a³=ρ_木a³g，
解得：ρ_木=$\frac{3}{4}$ρ_水=$\frac{3}{4}$×10³kg/m³=0.75×10³kg/m³．
（2）木块的质量为：m=ρ_木V=0.75×10³kg/m³×1m×1m×1m=750kg，
因物体浸没时排开水的体积和自身的体积相等，
所以，木块完全浸没后的浮力：
F_浮′=ρ_水gV_排′=ρ_水gV_木=$\frac{4}{3}$ρ_木gV_木=$\frac{4}{3}$mg=$\frac{4}{3}$×750kg×10N/kg=10000N，
因木块浸没时受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力、压力，
所以，由力的平衡条件可得，手对木块的压力（最大压力）：
F_压大=F_浮′-G_木=$\frac{4}{3}$mg-mg=$\frac{1}{3}$mg=$\frac{1}{3}$×750kg×10N/kg=2500N；
（3）木块开始下沉到恰好浸没的过程中，由图乙可知物体重心下降$\frac{1}{4}$a，
则重力对木块做功：
W=G_木h=mg×$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{4}$mga=$\frac{1}{4}$×750kg×10N/kg×1m=1875J；
木块开始下沉到恰好浸没的过程中，匀速下压，压力均匀增大，下压的距离h=a-$\frac{3}{4}$a=$\frac{1}{4}$a，
则力F对木块做的功：
W_F=$\frac{1}{2}$F_压大h=$\frac{1}{2}$F_压大×$\frac{1}{4}$a=$\frac{1}{8}$F_压大a=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{3}$mga=$\frac{1}{24}$mga=$\frac{1}{24}$×750kg×10N/kg×1m=312.5J，
故木块的重力对木块做的功和力F对木块做的功不相等．
答：（1）正方体木块的密度为0.75×10³kg/m³．
（2）木块匀速下沉过程中，力F的最大值为2500N．
（3）木块的重力对木块做的功和力F对木块做的功不相等．

点评 本题考查了重力的计算公式、密度的计算公式、阿基米德原理、物体的浮沉条件等知识，是一道难题．