Question

（2013?海淀区一模）如图所示，电源两端电压保持不变，R₁、R₂为定值电阻，开关S₃始终闭合．闭合开关S₁、断开开关S₂，滑动变阻器的滑片置于某位置M时（图中未标出），滑动变阻器的阻值为R_M，电流表的示数为I₁，滑动变阻器的电功率P_M为0.4W．保持开关S₁闭合、开关S₂断开，将滑动变阻器的滑片置于某位置N时（图中未标出），滑动变阻器的阻值为R_N，电流表的示数为I₂，电压表的示数为U₁，滑动变阻器的电功率P_N仍为0.4W．断开开关S₁、闭合开关S₂，滑动变阻器的滑片仍置于位置N时，电压表的示数变为U₂．已知I₁：I₂=2：1，U₁：U₂=7：9．求：
（1）滑动变阻器接入电路的阻值R_M与R_N之比；
（2）定值电阻R₁与R₂的阻值之比；
（3）改变开关状态和调节滑动变阻器的阻值，使电路的电功率最大，求出电路的最大电功率．

Answer 1

分析：分别画出四种情况下（①当闭合开关S₁、断开开关S₂，滑动变阻器的滑片在某位置M时；②当闭合开关S₁、断开开关S₂，滑动变阻器的滑片在某位置N时；③当断开开关S₁、闭合开关S₂，滑动变阻器滑片仍在某位置N时；④当电路消耗的电功率最大时）的等效电路图，根据题目提供条件分别求解．

解答：解：
当闭合开关S₁、断开开关S₂，滑动变阻器的滑片在某位置M时，等效电路如图甲所示；
当闭合开关S₁、断开开关S₂，滑动变阻器的滑片在某位置N时，等效电路如图乙所示；
当断开开关S₁、闭合开关S₂，滑动变阻器滑片仍在某位置N时，等效电路如图丙所示；
当电路消耗的电功率最大时，等效电路如图丁所示．

（1）∵P_M=I₁²R_M=0.4W，P_N=I₂²R_N=0.4W
∴

RM

RN

=

PM I 2 1

PN I 2 2

=

I 2 2

I 2 1

=

1

4

（2）由于电源电压不变，I₁（R₁+R_M）=I₂（R₁+R_N）
∴

I1

I2

=

R1+RN

R1+RM

=

2

1

，
又∵

RM

RN

=

1

4

，
∴

R1

RM

=

2

1

，

R1

RN

=

1

2

，
在图乙中，

U1

U

=

R1

R1+RN

=

1

3

，
又∵

U1

U2

=

7

9

，
∴

U2

U

=

3

7

在图丙中，

U2

U

=

R2

R2+RN

=

3

7

，
∴

R2

RN

=

3

4

∴

R1

R2

=

2

3

；
（3）P_M=I₁²R_M=（

U

R1+RM

）²×R_M=

U2

9RM

=0.4W，
∴

U2

RM

=3.6W，
∵

R1

RM

=

2

1

，

R1

R2

=

2

3

，
∴

R2

RM

=

3

1

，
∴P=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

2RM

+

U2

3RM

=

5

6

×3.6W=3W．
答：（1）滑动变阻器接入电路的阻值R_M与R_N之比为1：4；
（2）定值电阻R₁与R₂的阻值之比为2：3；
（3）电路的最大电功率为3W．

点评：本题为较复杂的电路动态分析计算题，分析题意画出四种情况下的等效电路图是本题的关键．