Question

（2013?海淀区二模）数字式液体压强计由薄片式压强传感器和数据采集显示器两部分组成．如图甲所示，将传感器放在大气中调零后，放入浮有圆柱体A的圆柱形水槽底部，用它来测量水槽底受到水的压强．然后在圆柱体A上逐个放上圆板，水槽底受到水的压强与所加圆板个数的关系如图乙所示．已知圆柱体的底面积S=0.02m²，圆柱体的密度ρ_A=0.75×10³kg/m³．所有的圆板完全相同，圆板与圆柱体A的底面积相等，厚度d=5mm，g取10N/kg．根据以上数据计算，一个圆板的质量m₁与圆柱体A的质量m_A的比值m₁：m_A=

1：3

．

Answer 1

分析：由乙图可知，当两个圆板放入时，物体A和两个圆板恰好完全浸没，此时水槽底受到水的压强变化量△p=40Pa，再多放入一个圆板时水槽底受到水的压强变化量△p′=10Pa．
（1）当两个圆板放入时，物体A和两个圆板恰好完全浸没，此时它们受到的浮力和它们的重力相等，根据物体的浮沉条件得出浮力的变化量，再根据体积公式得出液体深度的变化量，利用液体压强公式表示出水槽底受到水的压强变化量；
（2）物体A和两个圆板恰好完全浸没以后，再放入一个圆板时排开水体积的变化量等于一个圆板的体积，根据密度公式表示出其大小，再根据体积公式和液体压强公式表示出水槽底受到水的压强变化量，联立以上等式即可求出圆板密度和水的密度关系；
（3）两个圆板放入时，物体A和两个圆板恰好完全浸没，根据阿基米德原理表示出浮力，根据密度公式和重力公式表示出重力，利用浮沉条件得出等式即可求出物体A和一个圆板的体积之比，再利用密度公式求出一个圆板的质量m₁与圆柱体A的质量m_A的比值．

解答：解：由乙图可知，当两个圆板放入时，物体A和两个圆板恰好完全浸没，此时水槽底受到水的压强变化量△p=40Pa，再多放入一个圆板时水槽底受到水的压强变化量△p′=10Pa；
（1）当两个圆板放入时，物体A和两个圆板恰好完全浸没，此时它们受到的浮力和它们的重力相等，
∴△F_浮=2m₁g，
根据阿基米德原理可得：
△F_浮=ρ_水g△V_排=2m₁g，即△V_排=

2m1

ρ水

，
液体上升的高度：
△h=

△V排

S容器

=

2m1

ρ水S容器

，
根据p=ρgh可得，水槽底受到水的压强变化量：
△p=ρ_水g△h=ρ_水g×

2m1

ρ水S容器

=

2m1g

S容器

=40Pa------------①
（2）当再多放入一个圆板时，根据ρ=

m

V

可得，排开水体积的增加量：
△V_排′=

m1

ρ1

，
水槽底受到水的压强变化量：
△p′=ρ_水g△h′=ρ_水g×

△V′排

S容器

=ρ_水g×

m1

ρ1S容器

=10Pa----②
由①②相比可得：
ρ₁=2ρ_水；
（3）∵两个圆板放入时，物体A和两个圆板恰好完全浸没，
∴2G₁+G_A=F_浮，
即2ρ₁V₁g+ρ_AV_Ag=ρ_水g（V_A+2V₁），
整理可得：

V1

VA

=

ρ水-ρA

2(ρ1-ρ水)

=

ρ水-ρA

2(2ρ水-ρ水)

=

ρ水-ρA

2ρ水

=

1.0×103kg/m3-0.75×103kg/m3

2×1.0×103kg/m3

=

1

8

，
∴

m1

mA

=

ρ1V1

ρAVA

=

ρ1

ρA

×

V1

VA

=

2ρ水

ρA

×

V1

VA

=

2×1.0×103kg/m3

0.75×103kg/m3

×

1

8

=

1

3

．
故答案为：1：3．

点评：本题考查了密度公式、浮沉体积的应用、阿基米德原理、密度公式的应用等，关键是由图象得出当两个圆板放入时物体A和两个圆板恰好完全浸没物体、再放入一个圆板时排开水的体积和本身的体积相等．