题目内容

9．人站在船上打捞沉没在河中的瓷器，船上的装置如图所示．为了打捞重400N的瓷器，把瓷器放入一个合金制的筐内，合金筐重80N，瓷的密度是2.5×103㎏/m3，合金的密度是8.0×103㎏/m3．不计绳子重和滑轮轴与轮的摩擦时，当人站在船上竖直向下缓慢匀速拉动绳子，拉动水中合金筐时，不计水的阻力，人对船板的压强为p1，滑轮组的机械效率为η1；当合金筐离开水面后，保持人脚与船板的接触面积不变，人对船板的压强为p2，滑轮组的机械效率为η2．若p1：p2=77：60，η1：η2=30：33，求人重和动滑轮重（g取10N/kg）．

分析 人站在船上竖直向下缓慢匀速拉动绳子，人对绳子的拉力F=G人-F支，不计绳重和摩擦η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{（{G}_{瓷}+G金）h}{（{G}_{瓷}+{G}_{金}+{G}_{动}）h}$=$\frac{{G}_{瓷}+{G}_{金}}{{G}_{瓷}+{G}_{金}+{G}_{动}}$；
结合压强知识p=$\frac{F}{S}$列出方程求解．

解答 解：当合金筐和瓷器在水中和离开水面后，对动滑轮进行受力分析如图1、2所示，因为匀速直线运动：

2•F1=F拉1+G物
2•F2=F拉2+G物
其中：F拉1=G瓷+G合金筐-F瓷浮-F合金筐浮
F瓷浮=V瓷•ρ水•g=$\frac{{G}_{瓷}}{{ρ}_{瓷}•g}$•ρ水•g=$\frac{400N×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{2.5×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=160N
F合金筐=V合金筐•ρ水•g=$\frac{{G}_{合金筐}}{{ρ}_{合金筐}•g}$•ρ水•g=$\frac{80N×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=10N
F拉2=G瓷+G合金筐
由η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$，设拉动合金筐上升的距离为h
η1=$\frac{（{G}_{瓷}-{F}_{瓷浮}）h}{{F}_{1}•2•h}$=$\frac{（{G}_{瓷}-{F}_{瓷浮}）h}{（{F}_{拉1}+{G}_{动}）h}$=$\frac{{G}_{瓷}-{F}_{瓷浮}}{{G}_{瓷}+{G}_{合金筐}-{F}_{瓷浮}-{F}_{合金筐}+{G}_{动}}$=$\frac{400N-160N}{400N+80N-160N-10N+{G}_{动}}$=$\frac{240N}{310N+{G}_{动}}$；
η2=$\frac{{G}_{瓷}•h}{{F}_{2}•2•h}$=$\frac{{G}_{瓷}•h}{（{F}_{拉2}+{G}_{动}）•h}$=$\frac{{G}_{瓷}}{{G}_{瓷}+{G}_{合金筐}+{G}_{动}}$=$\frac{400N}{400N+80N+{G}_{动}}$=$\frac{400N}{480N+{G}_{动}}$
由η1：η2=30：33得：
$\frac{240N}{310N+{G}_{动}}$：$\frac{400N}{480N+{G}_{动}}$=30：33
解得：G动=20N
2F1=G瓷+G合金筐-F瓷浮-F合金筐浮+G动=400N+80N-160N-10N+20N=330N
故F1=165N；
2F2=G瓷+G合金筐+G动=400N+80N+20N=500N
F2=250N
人拉合金筐在水中时，受到重力G人、绳子拉力F1′和船板支持力N支，如下左图所示；
人拉合金筐离开水面时，受到重力G人、绳子拉力F2′和船板支持力N支′，如下右图所示；
人处于静止，G人=F1′+N支，F1′、N支与F1、N压是两对相互作用力，大小相等．

由p=$\frac{{F}_{压}}{{S}_{脚}}$ 
p1=$\frac{{N}_{支}}{{S}_{脚}}$=$\frac{{G}_{人}-{F}_{1}}{{S}_{脚}}$=$\frac{{G}_{人}-165N}{{S}_{脚}}$
p2=$\frac{{N}_{支}^{′}}{{S}_{脚}}$=$\frac{{G}_{人}-{F}_{2}}{{S}_{脚}}$=$\frac{{G}_{人}-250N}{{S}_{脚}}$
因为p1：p2=77：60和S脚保持不变
得到：（G人-165N）：（G人-250）=77：60
解得：G人=550N
答：人重550N；动滑轮重20N．

点评 此题主要考查学生对于滑轮组、浮力、机械效率和压强知识的理解和掌握．属于难题．

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