Question

20．如图所示，轻质杠杆AB可绕O点在竖直平面内转动，OA：OB=3：1．用细绳将圆柱体C悬挂在杠杆的A端并放入水中，再用细绳在杠杆B端悬挂一个完全相同的圆柱体D并放在水平地面上，当杠杆两端细线均被拉直且杠杆AB恰好在水平位置平衡时，圆柱体C有$\frac{1}{3}$的体积露出液面，该圆柱体底面所受液体压强为800Pa，此时圆柱体D对地面的压强为600Pa．则圆柱体C的密度为7.5×10³kg/m³．（g取10N/kg）

Answer 1

分析 ①已知圆柱体底面受到水的压强，可以得到圆柱体浸入水中的深度，进一步得到圆柱体的高度；
②已知圆柱体露出水面体积，可以得到圆柱体受到的浮力．圆柱体C对杠杆A端的拉力等于重力与浮力之差；已知圆柱体D对地面的压强，可以得到圆柱体对地面的压力，也就等于地面的支持力．圆柱体D对杠杆B端的拉力等于重力与地面支持力之差；已知杠杆两端受到的拉力和力臂关系，根据杠杆平衡条件，列出方程求解圆柱体的密度．

解答 解：
①因为p=ρgh，
所以圆柱体浸入水中的深度是h_浸入=$\frac{p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{800Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.08m，
所以圆柱体C、D的高度都是h=$\frac{3}{2}$×0.08m=0.12m；
②设圆柱体的底面积是S，密度是ρ，
则圆柱体的重力为G_C=G_D=m_Cg=ρgSh；
圆柱体C受到的浮力为F_浮=ρ_水gS•（1-$\frac{1}{3}$）h=$\frac{2}{3}$ρ_水gS•h，
杠杆A端受到的拉力为F_A=G-F_浮=ρgSh-$\frac{2}{3}$ρ_水gS•h；
因为p=$\frac{F}{S}$，
所以圆柱体D对地面的压力为F_D=p_DS，
地面对物体D的支持力为T=F_D=p_DS，
杠杆B端受到的拉力为F_B=G-p_DS=ρgSh-p_DS；
因为F₁L₁=F₂L₂，
所以
（ρgSh-$\frac{2}{3}$ρ_水gS•h）•OA=（ρgSh-p_DS）•OB，
化简得
3×（ρgh-$\frac{2}{3}$ρ_水g•h）=ρgh-p_D，
ρ=$\frac{2{ρ}_{水}gh-{p}_{0}}{2gh}$，
代入数值，解得
ρ=$\frac{2×1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×0.12m-600Pa}{2×10N/kg×0.12m}$=0.75×10³kg/m³．
故答案为：0.75×10³．

点评 此题是一道力学综合题，涉及到杠杆平衡条件、压强、阿基米德原理、力的作用相互性等的应用，对物体进行正确的受力分析，根据等量关系列出正确的方程，是解答的关键．