Question

10．小雨用滑轮组提升重物．每个滑轮等重，不计绳重、摩擦和水的阻力．请画出与解题过程相应的受力分析示意图．

（1）物体A的质量为50kg，求物体A的重力是多少？
（2）如图甲所示，小雨对绳子自由端的拉力为150N时，地面对物体A的支持力是100N． 为了提起物体A，他增加了滑轮个数，组装了如图乙所示的滑轮组，并利用它将物体A在空气中匀速提升了2m，求小雨做的功是多少？
（3 ）小雨用图乙所示的滑轮组，将另一密度为l.5×l0³kg/m³的物体B从某液体中匀速向上拉至空气中，拉力F随时间t变化的图象如图丙所示．已知F₂与F₁之差为50N，在空气中提升B时滑轮组的机械效率为75%．求液体密度是多少？

Answer 1

分析 （1）已知物体A的质量，利用G=mg可求重力；
（2）由图甲可知，n=3，对A进行受力分析，G=F_拉+F_支，对整个滑轮组分析，F=$\frac{1}{3}$（F_拉+G_轮）求出动滑轮的重；由图乙，n′=4，s=4h，对滑轮组乙受力分析，F′=$\frac{1}{4}$（G+2G_轮），再根据W=F′s求出小雨做的功；
（3）对滑轮组进行受力分析，根据在空气中提升B时滑轮组的机械效率η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{G}_{B}}{{G}_{B}+2{G}_{动}}$求出G_B，已知B的密度再利用V=$\frac{{G}_{B}}{g{ρ}_{B}}$求出体积，再根据在空气中绳端的拉力F₂=$\frac{1}{4}$（G_B+2G_轮），由图丙题意F₂-F₁=50N，在水中的拉力F₁=$\frac{1}{4}$（G_B-F_浮B+2G_轮），据此求出浮力，由浮力公式求出液体的密度．

解答 解：
（1）物体A的重力：G=mg=50kg×10N/kg=500N；
（2）如图甲，由题意可知，小雨没有把重物A提起来，
对A进行受力分析如下图1，由力的平衡条件可得G=F_拉+F_支，

滑轮组对A的拉力：F_拉=G-F_支=500N-100N=400N，
根据力的作用是相互的，A对滑轮组的拉力等于滑轮组对A的拉力，
由图甲可知，n=3，对甲滑轮组的动滑轮进行受力分析，如图2所示，
由力的平衡条件可得3F=F_拉+G_动，
所以动滑轮的重力：G_动=3F-F_拉=3×150N-400N=50N，
为了提起物体A，他增加了滑轮个数，组装了如图乙所示的滑轮组，对乙图的动滑轮和A物体进行受力分析，如图3：

此时绳端的拉力F′=$\frac{1}{4}$（G+2G_动）=$\frac{1}{4}$（500N+2×50N）=150N，
由图乙可知，n′=4，
绳子移动的距离：s=4h=4×2m=8m，
小雨做的功：W=F′s=150N×8m=1200J；
（3）不计绳重、摩擦，在空气中提升B时滑轮组的机械效率：
η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{G}_{B}h}{{G}_{B}h+2{G}_{动}h}$=$\frac{{G}_{B}}{{G}_{B}+2{G}_{动}}$=75%，
代入数据可得：$\frac{{G}_{B}}{{G}_{B}+2×50N}$=$\frac{3}{4}$，解得G_B=300N；
已知B的密度，由ρ=$\frac{m}{V}$可得，B的体积：
V_B=$\frac{{m}_{B}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{{G}_{B}}{g{ρ}_{B}}$=$\frac{300N}{10N/kg×1.5×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=0.02m³；
在空气中，绳端的拉力：
F₂=$\frac{1}{4}$（G_B+2G_动）=$\frac{1}{4}$（300N+2×50N）=100N，
已知F₂-F₁=50N，则在水中绳端的拉力：F₁=F₂-50N=100N-50N=50N，
B物体浸没在水中时，以B物体和2个动滑轮为研究对象，其受力情况如图4，
由力的平衡条件可得4F₁+F_浮B=G_B+2G_动，
则B在水中受到的浮力：F_浮B=G_B+2G_动-4F₁=300N+2×50N-4×50N=200N；
由F_浮B=ρ_液gV可得，液体的密度：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮B}}{gV}$=$\frac{200N}{10N/kg×0.02{m}^{3}}$=1×10³kg/m³．
答：（1）物体A的重力是500N；
（2）小雨做的功是1200J；
（3 ）液体密度是1×10³kg/m³．

点评 本题主要考查重力、密度、功以及阿基米德原理的综合运用，是一道难题．