Question

一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均抽出功率。

Answer 1

  当自行车车轮转动时，通过摩擦小轮使发电机的线框在匀强磁场内转动，线框中产生一正弦交流电动势，其最大值ε＝ω₀BSN

式中ω₀为线框转动的角速度，即摩擦小轮转动的角速度。

发电机两端电压的有效值U＝/2ε_m

设自行车车轮转动的角速度为ω₁，由于自行车车轮与摩擦小轮之间无相对滑动，有

R₁ω₁＝R₀ω₀

小齿轮转动的角速度与自行车轮转动的角速度相同，也为ω₁。设大齿轮转动的角速度为ω，有R₃ω＝R₂ω₁

由以上各式解得ω＝(U/BSN)(R₂r₀/R₃r₁)     代入数据得ω＝3.2s^－1

  以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有  s＝1/2at²       ①       v₀＝at       ②

在这段时间内，传送带运动的路程为s₀＝v₀t      ③

由以上可得s₀＝2s      ④

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

A＝fs＝1/2mv₀²     ⑤

传送带克服小箱对它的摩擦力做功A₀＝fs₀＝2·1/2mv₀²    ⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量Q＝1/2mv₀²    ⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T时间内，电动机输出的功为W＝T     ⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W＝1/2Nmv₀²＋Nmgh＋NQ      ⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以v₀T＝NL            ⑩

联立⑦⑧⑨⑩，得：＝[＋gh]