Question

3．如图所示，将底面半径为2R的圆柱形薄壁容器放在水平桌面上，把高为h，密度为ρ（ρ＜ρ_水），半径为R的实心圆柱体木块竖直放在容器中，然后向容器内注水，则（　　）

• A． 注水前，木块对容器底的压力为4πR²ρgh
• B． 注水前，木块对容器底的压强为2ρgh
• C． 若使木块竖直漂浮，向容器中注入水的质量至少为πR²ρh
• D． 若使木块竖直漂浮，向容器中注入水的质量至少为3πR²ρh

Answer 1

分析 （1）知道木块的底面积和高，求出木块的体积，知道木块的密度，利用m=ρV求木块的质量，利用G=mg求木块的重力，木块对容器底的压力等于木块的重力，根据压强公式p=$\frac{F}{S}$求出木块对容器底的压强；
（2）若使木块竖直漂浮，注入水的质量最少，即木块与容器底接触且木块对容器底的压力恰好为零，此时木体所受的浮力等于自身的重力；根据公式F_浮=ρgV_排可求木块排开水的体积；从而求出木块浸入水中的深度；根据公式V=Sh可求注入水的体积；根据公式m=ρV可求注入水的质量．

解答 解：（1）木块的体积：
V=Sh，
木块的质量：
m=ρV=ρSh，
木块的重力：
G=mg=ρShg，
木块对容器底的压力：
F=G=mg=ρShg，
木块对容器底的压强：
p=$\frac{F}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρhg；故选项AB错误；
（2）当木块与容器底接触且木块对容器底的压强恰好为零时，此时注入水的质量最少，
F_浮=G=mg=ρπR²hg，
木块排开水的体积：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}hg}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$，
木块浸入水中的深度：
h_水=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{ρπ{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π{R}^{2}}$=$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$，
注入水的体积为：V_水=（S_容-S_木）h_水=[π（2R）²-πR²]×$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$，
注入水的质量：
m_水=ρ_水V_水=ρ_水3πR²$\frac{ρh}{{ρ}_{水}}$=3πR²ρh．故C错误，D正确．
故选D．

点评 本题为力学综合题，考查了学生对密度公式、重力公式、压强公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，难点在C、D选项，知道要使木块竖直漂浮，注入水的质量最少，木块与容器底接触且木块对容器底的压力恰好为零，是本题的关键．