题目内容

圆柱形容器中装有适量的水，将木块A放入水中静止时，有 $数学公式$ 的体积露出水面，如图所示，此时水对容器底部的压强增加了300Pa．若将木块A挂在轻质杠杆左端B点，且A的部分体积浸入水中，在杠杆C点悬挂重物G使杠杆水平平衡，如图所示，此时水对容器底部的压强比木块A漂浮时减少了100Pa．若将容器中的水换成另一种液体，使木块A露出液面部分与乙图相同，移动重物G到D点时，杠杆水平平衡，如图所示．若OC：OD=10：13．则这种液体的密度为________kg/m³．

0.85×10³
分析：（1）由于木块物体漂浮在水面上，有 $\text{[math]}$ 的体积露出水面，可知排开水的体积为 $\text{[math]}$ V，根据阿基米德原理和物体的漂浮条件可得F_浮=ρ_水 $\text{[math]}$ Vg=G_木；
设容器底面积为S，则排开水的体积 $\text{[math]}$ V=S△h，由题知，放入木块后，水对容器底部的压强增加了300Pa，根据液体压强公式可得关系式①（△p=ρ_水△hg=300Pa）；
（2）将木块A挂在轻质杠杆左端B点，水对容器底部的压强比木块A漂浮时减少了100Pa，所以比原来水对容器底部的压强增加了200Pa，根据液体压强公式可得关系式②△p′=ρ_水△h′g=200Pa，由①②可得△h′= $\text{[math]}$ △h，而S△h= $\text{[math]}$ V，可得此时排开水的体积V排′= $\text{[math]}$ V，利用阿基米德原理求此时受到的浮力，而B端受到的拉力F_B=G_木-F_浮′，根据杠杆平衡条件可得关系式③（F_B×OB=G×OC）；
（3）将容器中的水换成另一种液体，使木块A露出液面部分与乙图相同，利用阿基米德原理求受到液体的浮力，而B端受到的拉力F_B′=G_木-F_浮″，根据杠杆平衡条件可得关系式④（F_B′×OB=G×OD），由③④相比解得液体的密度大小．
解答：
（1）左图，物体漂浮在水面上，有 $\text{[math]}$ 的体积露出水面，
V_排= $\text{[math]}$ V，
F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水 $\text{[math]}$ Vg=G_木，
设容器底面积为S，则
V_排= $\text{[math]}$ V=S△h，
由题知，放入木块后，水对容器底部的压强增加了300Pa，
即△p=ρ_水△hg=300Pa，--------①
（2）中图，将木块A挂在轻质杠杆左端B点，水对容器底部的压强比木块A漂浮时减少了100Pa，所以比原来水对容器底部的压强增加了200Pa，
即：△p′=ρ_水△h′g=200Pa，--------②
由①②可得：
△h′= $\text{[math]}$ △h，
而S△h= $\text{[math]}$ V，
∴V排′=S $\text{[math]}$ △h= $\text{[math]}$ S△h= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ V= $\text{[math]}$ V，
此时受到的浮力：
F_浮′=ρ_水V_排′g=ρ_水 $\text{[math]}$ Vg，
B端受到的拉力：
F_B=G_木-F_浮′=ρ_水 $\text{[math]}$ Vg-ρ_水 $\text{[math]}$ Vg= $\text{[math]}$ ρ_水Vg，
∵杠杆平衡，
∴F_B×OB=G×OC，
即： $\text{[math]}$ ρ_水Vg×OB=G×OC--------③
（3）右图，将容器中的水换成另一种液体，使木块A露出液面部分与乙图相同，受到液体的浮力：
F_浮″=ρ_液 $\text{[math]}$ Vg，
B端受到的拉力：
F_B′=G_木-F_浮″=ρ_水 $\text{[math]}$ Vg-ρ_液 $\text{[math]}$ Vg，
∵杠杆平衡，
∴F_B′×OB=G×OD，
即：（ρ_水 $\text{[math]}$ Vg-ρ_液 $\text{[math]}$ Vg）×OB=G×OD--------④
$\text{[math]}$ 得：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ρ_液= $\text{[math]}$ ρ_水= $\text{[math]}$ ×1×10³kg/m³=0.85×10³kg/m³．
故答案为：0.85×10³kg/m³．
点评：本题为力学综合题，考查了学生对密度公式、液体压强公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件、杠杆平衡条件的掌握和运用，求出物体在中图的水中受到的浮力是本题的突破口、也是本题的关键．