Question

3．一水杯装水放在冰箱冷冻室后，部分水结冰，由于冰的密度小于水的密度，所以冰全部浮在水面上，且冰面正好与杯口相平，此时水的体积刚好为总体积的一半，冰、水和杯子的总质量为110g，当冰全部熔化后，需向杯中加5ml水，水面正好与杯口相平，试求：
（1）杯的容积；
（2）空杯的质量；
（3）冰熔化前杯中水的质量．（水的密度1.0g/cm³，冰密度0.9g/cm³）

Answer 1

分析 ①当冰全部熔化后，需向杯中加5ml的水，水面正好与杯口相平．由此可知冰化水减小的体积为5ml．而冰化水后质量不变，可得$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$-$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=5cm³，据此求解冰的质量，利用V=$\frac{m}{ρ}$求出冰的体积，而水的体积刚好为总体积的一半，可求杯内水的体积，进而得出杯子的容积．
②利用m=ρV求冰熔化前杯中水的质量水的质量，而冰、水和杯子的总质量为110g，可求空杯的质量．

解答 解：
（1）由题知，当冰全部熔化后，需向杯中加5ml的水，水面正好与杯口相平，
则冰熔化为水减小的体积△V=5ml=5cm³，
因为ρ=$\frac{m}{V}$，冰熔化为水后其质量不变，
所以可得：$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$-$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=5cm³，
即：$\frac{{m}_{冰}}{0.9g/c{m}^{3}}$-$\frac{{m}_{冰}}{1g/c{m}^{3}}$=5cm³，
解得：m_冰=45g，
则冰的体积：
V_冰=$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$=$\frac{45g}{0.9g/c{m}^{3}}$=50cm³，
因为此时水的体积刚好为总体积的一半，
所以，冰熔化前杯内水的体积：V_水=V_冰=50cm³，
杯子的容积：V=V_水+V_冰=50cm³+50cm³=100cm³；
（2）（3）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，熔化前杯中水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1g/cm³×50cm³=50g；
因为m_杯+m_水+m_冰=110g，
所以空杯的质量：m_杯=110g-m_水-m_冰=110g-50g-45g=15g．
答：（1）杯的容积为100cm³；
（2）空杯的质量为15g；
（3）冰熔化前杯中水的质量50g．

点评 本题考查了密度公式的应用，本题关键是求冰的质量，从“当冰全部熔化后，需向杯中加5ml的水，水面正好与杯口相平”得出冰化水减小的体积为5ml是本题的突破口．