Question

7．某实心质量均匀分布正立方体金属块的质量是m，边长是a，要使该正方体以和地面接触的一条棱为轴翻转一次，则至少对其做功为$\frac{mga（\sqrt{2}-1）}{2}$，该过程中开始时刻推力的最小值为$\frac{\sqrt{2}mg}{4}$．

Answer 1

分析 （1）要让与地面接触的一条棱为轴翻转一次，至少应将对角线推到与地面垂直的位置，此后由于惯性和受重力作用而翻转，推力做功等于克服正方体重力
所做的功，正方体上升的高度为重心上升的高度；
（2）推正方体时，正方体是一个变形的杠杆，要使力最小，要使力臂最长，用正方体的对角线作力臂，正方体的重力的阻力，L₂是阻力臂．根据杠杆平衡条件，求出最小的力．

解答 解：（1）要让与地面接触的一条棱为轴翻转一次，至少应将对角线推到与地面垂直的位置，如左、右图所示：

要使正方体翻转一次，至少把正方体的重心从M点升高到M'点，
结合图示可知：h₁=$\frac{a}{2}$，h₂=$\frac{1}{2}$×BD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{a}{2}$$\sqrt{2}$，
正方体上升的高度为重心上升的高度，
即△h=h₂-h₁=$\frac{a}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{a（\sqrt{2}-1）}{2}$，
则至少对其做功：W=Gh=mg△h=mg×$\frac{a（\sqrt{2}-1）}{2}$=$\frac{mga（\sqrt{2}-1）}{2}$；
（2）推正方体时，正方体是一个变形的杠杆，要使力最小，要使力臂最长，用正方体的对角线作动力臂；
根据杠杆平衡条件得：F×L₁=G×L₂，
L₁是正方体的对角线，所以L₁=$\sqrt{2}$a．
则F×$\sqrt{2}$a=mg×$\frac{a}{2}$
解得F=$\frac{\sqrt{2}mg}{4}$．
故答案为：$\frac{mga（\sqrt{2}-1）}{2}$；$\frac{\sqrt{2}mg}{4}$．

点评 本题主要考查了杠杆的最小力的问题和功的计算，本题确定最长力臂和升高的距离是关键，本题涉及到数学知识--勾股定理，因此解答此题要求学生应具备一定的学科综合能力．