题目内容

（2011?青岛）演绎式探究--探索宇宙：
（1）牛顿认为，宇宙中任何两个物体之间都存在引力，引力大小F引=k
m1m2
r2
，其中m1、m2分别为两个物体的质量，r为两个物体间的距离，k=6.67×l0-11m3/（kg?s2）．可见，当两个物体间的距离增大时，它们之间的引力将变
小
小
．
当我们用线绳拴着一个小球使它以手为圆心转动时，绳子对小球有一个向圆心拉的力，这个力叫做向心力．这是小球得以绕圆心做圆周运动的条件．宇宙中的星体也是如此：
子星绕母星（卫星绕行星，行星绕恒星）的运动可以近似地看作是匀速圆周运动（如图），子星受到一个恒定的指向圆心（母星）的向心力，向F心=m
v2
r
心力的大小，其中m为子星质量，v为子星绕母星匀速运动的速度，r为运动半径（也即两星之间的距离）．并且，向心力的大小等于母星对它的引力F引．
（2）已知月球绕地球一周所用的时间为T，地月之间的距离为r，请你推导出地球质量M的数学表达式．
（3）已知地球到太阳的距离为1.5×l011m，一年为3.2×l07s，则太阳的质量为
1.95×1030
1.95×1030
kg．
分析：（1）根据F引=k
m1m2
r2
判断两个物体间的距离增大时，它们间的引力如何变化．
（2）现推导出速度v与周期T的关系，代入向心力公式，然后由万有引力公式与向心力公式列方程，解方程即可求出地球质量M的表达式．
（3）把已知数据代入地球质量表达式，可求出地球质量．
解答：解：（1）由F引=k
m1m2
r2
知：当两个物体间的距离增大时，它们之间的引力将变小．
（2）向心力F心=m
v2
r
=m
(
s
T
)2
r
=m
(2πr)2
rT2
=m
4π2r
T2
，设月球质量为m，地球质量为M，
月球绕地球做圆周运动的向心力由地球对月球的万有引力提供，
即：
kmM
r2
=m
4π2
T2
r，所以M=
4π2r3
kT2
．
（3）已知：r=1.5×l011m，T=3.2×l07s，k=6.67×l0-11m3/（kg?s2），
所以地球质量M=
4π2r3
kT2
=
4×3.142×(1.5×1011m)3
6.67×l0-11m3/(kg?s2)× (3.2×107s)2 
≈1.95×1030kg．
故答案为：（1）小．（2）M=
4π2r3
kT2
．（3）1.95×1030．
点评：这是一道信息给予题，认真审题，充分理解题意，由题干获取足够的信息是解题的关键．
练习册系列答案
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（2012?青岛）演绎式探究--约翰?卡特在火星：
作家巴勒斯的科幻小说《火星公主》被改编成电影《异星战场》．影片描写了地球人卡特来到火星，为救火星公主征战火星的故事．由于火星和地球对物体的引力不同，使得卡特在火星上英勇无敌，成为火星战神．
物理学告诉我们，对每个星球来讲，下列公式成立：R2g=KM，这一关系式被称为“黄金变换”．其中：R为星球的半径，g为星球的引力常数（我们学过，g地=10N/kg），M为星球的质量，K=6.67×10-11N?m2/kg2．
（1）火星的半径是地球的一半，密度是地球的 
8
9
．请你推导：卡特站立在火星上对火星表面的压强与站立在地球上对地面的压强之比是多少？（球体体积公式：V球=
4
3
πR3）
（2）若不计空气阻力，人们跳远的最远距离s与星球的g成反比，与起跳速度v0的关系如图象所示．下列四个关于s的表达式中只有一个是正确的，应该选择
C
C
：
A．s=gv02      B．s=
v0
g
      C．s=
v02
g
      D．s=gv0
（3）不计空气阻力，如果卡特在地球上最远可以跳8.95m（世界跳远纪录），则他在火星上以相同的速度起跳，最远可以跳
20.1375
20.1375
m．
（2013?青岛）演绎式探究---研究带电上球间的作用力：
经科学研究发现，两个带电小球所带电荷量分别为q1．q2，当它们之间的距离为r（远大于小球的直径）时，它们之间的作用力F=k
q1q2
r2
，其中常量k=9×109N?m2/C2．
（1）如图1，将甲、乙两个带电小球放在光滑的绝缘水平面上，若甲球带正电荷、乙球带负电荷，则它们之间的作用力为
引
引
力（“引”或“斥），此时两球将相互
靠近
靠近
（“靠近”或“远离”）．
（2）如图2，为了使这两个小球在原来的位置静止，沿着甲、乙两球的球心连线方向，在乙球的右边某位置放上一个电荷量为q3的小球丙，此时恰好使得三球均保持静止．则丙球应该带
正
正
电荷（“正”或“负”）．请你证明，此时有关系
q1q3
=
q1q2
+
q2q3
成立．
（2007?青岛）演绎式探究：
由于流体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半径为R的小球以速度v运动时，所受的流体阻力可用公式f=6πηRv表示．
（1）小球在流体中运动时．速度越大，受到的阻力
越大
越大
．
（2）密度为ρ、半径为R的小球在密度为ρ0、粘滞系数为η的液体中由静止自由下落时的v-t图象如图所示，请推导出速度vr的数学表达式：vr=
2R2g(ρ-ρ0)
9η
2R2g(ρ-ρ0)
9η
．
（2011?青岛）归纳式探究--研究弹簧的刚性系数：
我们知道，弹簧受到的拉力越大，弹簧伸长的长度就越大．但是，用同样大小的力去拉两只不同的弹簧，伸长的长度不同，这说明弹簧有“软”、“硬”之分，容易被拉伸的弹簧比较软，反之比较硬．弹簧的软硬用它的刚性系数来表示．刚性系数越大，弹簧越硬．
为了研究弹簧的刚性系数与哪些因素有关，通过有关实验探究，取得数据如下（其中：S为制造弹簧的金属丝的横截面积，n为弹簧的匝数，r为弹簧的半径，A为弹簧的刚性系数）：
材料 S/m2 n r/m A/（N?m-1）
铜 3×10-6 100 1×10-2 90
钢 3×10-6 100 1×10-2 180
铜 6×10-6 100 1×10-2 360
钢 3×10-6 200 1×10-2 90
铜 6×10-6 100 2×10-2 45
（1）A=k
S2
nr3
S2
nr3
，其中k与制造弹簧的材料有关，材料不同，k值一般不同．上述实验中钢的k值k钢=
2×109N/m2
2×109N/m2
（填上数值和单位）．将数据变成公式，运用的是
等价变换
等价变换
法．
（2）用粗细相同的铜丝做成半径相同但匝数不同的弹簧，则弹簧的刚性系数和匝数的关系可以用图象中的图线
b
b
表示．
（3）如果用粗细相同的铜丝和钢丝做成匝数和半径相同的弹簧，都用1ON的力拉伸时，
用
铜
铜
做成的弹簧变得更长．
（4）用横截面积为9×l0-6m2的钢丝制成一个60匝、刚性系数为100N/m的弹簧，则该弹簧的半径为
3×10-2
3×10-2
m．

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