Question

4．在玻璃生产车间，常用位于天车上的卷扬机（其内部有电动机提供动力）通过滑轮组和真空吸盘提升玻璃，吸盘覆盖玻璃的面积S=400cm²，大气压按p₀=1.0×10⁵Pa计算，如图所示．当卷扬机通过滑轮组提升质量m₁=90kg的玻璃并使玻璃以速度v₁匀速上升时，卷扬机对滑轮组绳端的拉力F₁的功率P₁=500W，滑轮组的机械效率为η；当卷扬机通过滑轮组提升质量m₂=60kg的玻璃并以速度v₂匀速上升时，卷扬机对滑轮组绳端的拉力为F₂．已知，v₂=2v₁，η=75%，吸盘和绳的质量及滑轮与轴的摩擦忽略不计，g取10N/kg．求：
（1）卷扬机对滑轮组绳端的拉力F₁的大小；
（2）卷扬机对滑轮组绳端的拉力F₂的功率；
（3）此滑轮组的最大机械效率．

Answer 1

分析 （1）扬机通过滑轮组提升质量m₁=90kg的玻璃时，由η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{G}{nF}$计算F₁的大小；
（2）吸盘和绳的质量及滑轮与轴的摩擦忽略不计，提起m₁物体时，根据F=$\frac{1}{n}$（G_物+G_动）计算动滑轮重，由P=Fv_F=Fnv₁计算v₁；
再求得F₂和v₂，根据P=Fv计算拉力F₂的功率；
（3）由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$计算能提起物体的最大重力，再计算此时绳端拉力，由η=$\frac{G}{nF}$计算最大机械效率．

解答 解：
（1）由图可知，滑轮组中通过动滑轮绳子的段数n=3，
由η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{G}{nF}$可得：
F₁=$\frac{{m}_{1}g}{nη}$=$\frac{90kg×10N/kg}{3×0.75}$=400N；
（2）吸盘和绳的质量及滑轮与轴的摩擦忽略不计，提起m₁物体时，根据F=$\frac{1}{n}$（G_物+G_动），
动滑轮重：G_动=nF₁-G_物1=3×400N-90kg×10N/kg=300N，
玻璃被匀速吊起，由P₁=F₁v_F1=F₁nv₁
v₁=$\frac{{P}_{1}}{{F}_{1}n}$=$\frac{500W}{400N×3}$=$\frac{5}{12}$m/s，
当提起m₂物体时，
F₂=$\frac{1}{3}$（G_物2+G_动）=$\frac{1}{3}$×（60kg×10N/kg+300N）=300N，
v₂=2v₁=2×$\frac{5}{12}$m/s=$\frac{5}{6}$m/s，
所以P₂=F₂v_F2=F₂nv₂=300N×3×$\frac{5}{6}$m/s=750W．
（3）大气压p₀=1.0×10⁵Pa，
由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$，
真空吸盘能提升玻璃的最大重力为：G_最大=p₀S=1.0×10⁵Pa×400×10^-4m²=4000N，
此时绳端拉力F′=$\frac{1}{3}$（G_最大+G_动）=$\frac{1}{3}$×（4000N+300N）=$\frac{4300N}{3}$N，
同一滑轮组提起物体越重效率越高，所以此滑轮组的最大机械效率：
η_最大=$\frac{{G}_{最大}}{nF′}$=$\frac{4000N}{3×\frac{4300}{3}N}$≈93%．
答：（1）卷扬机对滑轮组绳端的拉力F₁的大小为400N；
（2）卷扬机对滑轮组绳端的拉力F₂的功率为750W；
（3）此滑轮组的最大机械效率为93%．

点评 本题为力学综合题，要求灵活利用所学知识、选用所学公式，利用好滑轮组的特点，能从图象得出相关信息是本题的关键，是一道难题！