Question

（2013?西城区二模）如图甲所示，质量为m的小球有

1

4

的体积浸入圆柱形水槽的水中；若换用一根更长的线拴小球，则球有

1

2

的体积浸入水中，先后两次台秤示数变化了5N．若将线剪断，小球恰好悬浮在水中，如图乙所示，此时水深为h₁，台秤的示数为F₁．若将水槽中的水换成同质量的盐水，再将小球放入盐水中，如图丙所示，盐水深为h₂，台秤示数为F₂．已知水的质量是4kg，圆柱形水槽的质量是1kg，水槽的底面积为2dm²，g取10N/kg，下列判断正确的是（　　）

A．h₂＞h₁

B．h₂-h₁=0.1m

C．m=1kg

D．F₁=F₂=70N

Answer 1

分析：（1）根据小球受到的浮力和台秤示数变化列出等式解之即可求出小球的体积，因为小球能悬浮在水中，则浮力等于重力，于是即可求出质量．
（2）根据得到的数据，分别求出h₁、h₂然后比较．
（3）知道台秤示数就是显示的水槽总重力，求出总重力即可比较F₁=F₂．

解答：解：（1）∵台秤示数是水槽与水的总重力，再加上小球对水向下的压力，
∴台秤示数变化就等于小球受到的浮力变化，
即：F_浮2-F_浮1=△F，
根据阿基米德原理可得：
ρ_水g

1

2

V-ρ_水g

1

4

V=△F，
则V=

4△F

ρ水g

=

4×5N

1×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-3m³，
∵若将线剪断，小球能悬浮在水中，则G_球=F_浮，即：m_球g=ρ_水gV，
∴m_球=ρ_水V=1×10³kg/m³×2×10^-3m³=2kg；故C选项错误．
（2）如图乙所示小球悬浮在水中，
此时水深为h₁=

V水+V排

S底

=

m水 ρ水 +V

S底

=

4kg 1×103kg/m3 +2×10-3m3

2×10-4m2

=

1

ρ水

×3×10^-4m；
如图丙所示小球放入盐水中，因小球处于漂浮，所以F_浮=G_球，
即：ρ_盐gV_排盐=m_球g，
所以，V_排盐=

m球

ρ盐

，
又m_盐=m_水=2kg，
则盐水深为h₂=

V盐+V排盐

S底

=

m盐 ρ盐 + m球 ρ盐

S底

=

4kg ρ盐 + 2kg ρ盐

2×10-4m2

=

1

ρ盐

×3×10^-4m
∵ρ_盐＞ρ_水，
∴h₂＜h₁，故A选项错误；
而h₁=

1

ρ水

×3×10^-4m=

1

1×103kg/m3

×3×10^-4m=0.3m；
∵ρ_盐略大于ρ_水，ρ_盐＜1.5ρ_水，
∴h₂=

1

ρ盐

×3×10^-4m＞

1

1.5×103kg/m3

×3×10^-4m=0.2m；
∴h₁-h₂＜0.3m-0.2m=0.1m．故B选项错误．
（3）∵台秤示数就是显示的水槽总重力，
∴F₁=G_槽+G_水+G_球=1kg+4kg+2kg=7kg，
F₂=G_槽+G_盐+G_球=1kg+4kg+2kg=7kg，
所以，F₁=F₂，故D选项正确．
故选D．

点评：本题通过容器里液体中的物体对台秤示数的影响，考查阿基米德原理和物体的浮沉条件，关键是知道台秤示数就是显示的水槽总重力和小球对水产生的压力会对台秤示数产生变化，本题难度较大，还需要利用极值法．