Question

3．如图所示，电源电压U=30V保持不变，当闭合开关S，并调节滑片P使它位于R₃的A处时，这时电压表示数为U₁，电流表的示数为I_A；后断开开关S，并调节滑片P使它位于R₃的B处时，这时已知R₁两端的电压为8V，电流表的示数为I_B，电压表示数为U₂．若U₁：U₂=2：1，I_A：I_B=5：2，求：
（1）R₁：R₂=？
（2）R_A：R_B=？

Answer 1

分析 当闭合开关S，并调节滑片P使它位于R₃的A处时，R₁与R₃串联，电压表测R₁两端的电压，电流表测电路中的电流；后断开开关S，并调节滑片P使它位于R₃的B处时，R₁与R₂、R₃串联，电压表测R₁与R₂两端的电压之和，电流表测电路中的电流，画出两种情况的等效电路图．
（1）根据电阻的串联和欧姆定律表示出两图中电压表的示数，即可求出R₁与R₂的阻值之比；
（2）图2中，根据电阻的串联和欧姆定律表示出R₁两端电压与电压表的示数之比即可求出U₂的示数，然后求出U₁的示数，根据串联电路的电压特点和欧姆定律表示出滑动变阻器两端的电压之比即可求出两次滑动变阻器接入电路中电阻之比．

解答 解：当闭合开关S，并调节滑片P使它位于R₃的A处时，等效电路图如图1所示；
后断开开关S，并调节滑片P使它位于R₃的B处时，等效电路图如图2所示：

（1）因U₁：U₂=2：1，I_A：I_B=5：2，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{A}{R}_{1}}{{I}_{B}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=$\frac{{I}_{A}}{{I}_{B}}$×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2}{1}$，
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{4}{1}$；
（2）图2中，R₁两端的电压U_R1=8V，
$\frac{{U}_{R1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{B}{R}_{1}}{{I}_{B}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{4{R}_{2}}{4{R}_{2}+{R}_{2}}$=$\frac{4}{5}$，
则U₂=$\frac{5}{4}$U_R1=$\frac{5}{4}$×8V=10V，U₁=2U₂=2×10V=20V，
因串联电路中总电压等于各分电压之和，
所以，两图中滑动变阻器两端的电压之比：
$\frac{{U}_{A}}{{U}_{B}}$=$\frac{{I}_{A}{R}_{A}}{{I}_{B}{R}_{B}}$=$\frac{{I}_{A}}{{I}_{B}}$×$\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}$=$\frac{U-{U}_{1}}{U-{U}_{2}}$=$\frac{30V-20V}{30V-10V}$=$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}$=$\frac{1}{5}$．
答：（1）R₁：R₂=4：1；（2）R_A：R_B=1：5．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律的应用，利用好电压表的示数之比是解题的关键．