题目内容

为了测量某种液体的密度，小青找到一支平底试管，在试管中放少许细砂，如图所示，刻线A在平底上某一位置，小青将平底试管放在水中，试管直立漂浮在水面上，在水面和试管相平处记下刻线B，如果在试管上方作用一个竖直向上的拉力F₁，可以将试管提升到水面与刻线A 相平．如果将平底试管放到某种液体中，需要对试管施加一个竖直向下的压力F₂，才能使液面与刻线A 相平，量出刻线A和B 到试管底部的距离比 $数学公式$ = $数学公式$ ．则用F₁、F₂和ρ_水表示这种液体的密度是________．（设水的密度为ρ_水）

$\text{[math]}$ ρ_水
分析：（1）将平底试管放在水中，试管直立漂浮在水面上，根据漂浮条件和阿基米德原理可得关系式（F_浮=G=ρ_水V_排g=ρ_水Sh_Bg）；
（2）在试管上方作用一个竖直向上的拉力F₁，根据力的合成和阿基米德原理可得关系式（F₁+F_浮′=G=ρ_水Sh_Bg）；由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得①h_A= $\text{[math]}$ ；
（3）将平底试管放到某种液体中，使液面与刻线A相平，对试管施加一个竖直向下的压力F₂，根据力的合成和阿基米德原理可得关系式F₂+G=F_浮″，由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得②h_A= $\text{[math]}$ ；
联立①②解得液体密度大小．
解答：
设平底试管的底面积为S，试管和沙子的总重为G，
（1）将平底试管放在水中，试管直立漂浮在水面上，F_浮=G=ρ_水V_排g=ρ_水Sh_Bg，
（2）在试管上方作用一个竖直向上的拉力F₁，F₁+F_浮′=G=ρ_水Sh_Bg，即F₁+ρ_水V_排′g=F₁+ρ_水Sh_Ag=ρ_水Sh_Bg，所以
F₁=ρ_水Sh_Bg-ρ_水Sh_Ag，h_B-h_A= $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴h_A= $\text{[math]}$ ；-------------①
（3）将平底试管放到某种液体中，使液面与刻线A相平，对试管施加一个竖直向下的压力F₂，则F₂+G=F_浮″，
即F₂+ρ_水Sh_Bg=ρ_液Sh_Ag，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴h_A= $\text{[math]}$ ；---------------②
由①②可得：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：
ρ_液= $\text{[math]}$ ρ_水．
故答案为： $\text{[math]}$ ρ_水．
点评：本题考查了学生对阿基米德原理、物体的漂浮条件和力的合成的掌握和运用，通过本题给我们提供了一种测量液体密度的方法，在理解原理的基础上求解，有难度！

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