Question

如图所示，一个底面积为S的圆柱形容器直立漂浮于水中，这时它浸入水中部分的长度为h₀．当往圆柱形容器内注入适量的水后，它仍能直立漂浮于水中，这时它浸入水中部分的长度变为h₁．将圆柱形容器内的水换成同体积的某种液体后，它仍能直立漂浮于水中，这时它浸入水中部分的长度变为h₂．
已知水的密度为ρ_水，则（1）圆柱形容器的质量m=

 

；（2）容器内液体的密度ρ=

 

．

Answer 1

分析：当圆柱形容器漂浮于水中，知道进入深度，求出浸入水中的体积（排开水的体积），利用阿基米德原理求容器受到水的浮力，再利用漂浮条件求容器重，最后利用重力公式求容器的质量；
当往圆柱形容器内注入适量的水后，仍直立漂浮于水中，知道它浸入水中部分的长度变为h₁，求出此时受到水的浮力；将圆柱形容器内的水换成同体积的某种液体后，仍能直立漂浮于水中，知道它浸入水中部分的长度变为h₂，求出此时受到水的浮力；联立方程组求解．

解答：解：（1）圆柱形容器排开水的体积：v_排=v_浸=sh₀，
圆柱形容器受到水的浮力：F_浮=ρ_水v_排g=ρ_水sh₀g，
∵圆柱形容器漂浮，
∴圆柱形容器重：G=F_浮=ρ_水sh₀g，
∴圆柱形容器的质量：m=

G

g

=

ρ水sh0g

g

=ρ_水sh₀；
（2）当往圆柱形容器内注入适量的水后，浸入水中部分的长度变为h₁，
受到水的浮力：F₁=ρ_水sh₁g
∵此时仍漂浮，
∴F₁=G+G_水=ρ_水sh₀g+ρ_水vg，
∴ρ_水sh₀g+ρ_水vg=ρ_水sh₁g；-----------①
当往圆柱形容器内注入同体积的某液体后，浸入水中部分的长度变为h₂，
受到水的浮力：F₂=ρ_水sh₂g
∵此时仍漂浮，
∴F₂=G+G_水=ρ_水sh₀g+ρ_液vg，
∴ρ_水sh₀g+ρ_液vg=ρ_水sh₂g；-----------②
①②联立方程组解得：
ρ_液=

h2-h0

h1-h0

ρ_水．
故答案为：（1）ρ_水sh₀；（2）

h2-h0

h1-h0

ρ_水．

点评：本题考查了学生对密度公式、重力公式、阿基米德原理、漂浮条件的掌握和运用，根据题目条件列出方程是本题的关键．