题目内容

（1）如图所示，密度计是测量液体密度的工具，它的工作原理是怎样的？密度计的刻度值是上小下大、上疏下密，且刻度分布不均匀．试根据其工作原理进行推证．（为讨论方便，可将密度计看作横戴面积为S的圆柱体模型，推证过程要有必要的公式论证和文字说明）
（2）为了测定密度值较小的液体的密度，仿照日常生活中的杆秤，设计出一种密度秤，如图所示．
（a）试根据浮力知识和杠杆平衡原理推出密度秤工作原理的表达式；
（b）试根据其工作原理讨论密度秤的数值大小及刻度分布是否均匀？

解：（1）∵密度计在不同液体中处于漂浮状态，
∴F_浮=G，即ρ_液gV_排=ρ_液gSh=mg，
ρ_液= $\text{[math]}$ ，h为密度计浸入液体的长度，ρ_液越小，浸入部分的长度越长，上面的刻度显示越小，
∴上小下大．刻度不均匀，
∵ρ和h是反比例函数，
∴刻度分布不均匀．
（2）（a）∵F_浮=G-F′，F_浮=ρ_液gV_排，
∴G浸没时对A点的拉力F_拉=G-F_浮=G-ρ_液gV_排=G-ρ_液gV，
根据杠杆的平衡条件可得：
F_拉L_G=mgL，即（G-ρ_液gV）L_G=mgL，
解得：ρ_液= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
（b）由表达式可知，ρ_液和L成正比关系，函数图象是直线，所以刻度是均匀的．
答：（1）ρ_液= $\text{[math]}$ ，h为密度计浸入液体的长度，ρ_液越小，浸入部分的长度越长，上面的刻度显示越小，所以上小下大，刻度不均匀；因为ρ和h是反比例函数，所以刻度分布不均匀．
（2）（a）ρ_液= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
（b）ρ_液和L成正比关系，函数图象是直线，所以刻度是均匀的．
分析：（1）密度计在液体中处于漂浮状态，受到的浮力等于重力的大小，重力不变，浮力不变；根据阿基米德原理和重力公式得出液体密度的表达式，然后分析密度计的工作原理．
（2）（a）G浸没在液体中，所以其对杠杆的力为G-F_浮，F_浮=ρ_液gV_排，根据杠杆的平衡条件列出关系式，即可得出密度秤工作原理的表达式；
（b）分析ρ和L成正比关系即可判断密度秤的数值大小及刻度分布是否均匀．
点评：本题考查了液体密度的测量，涉及到物体浮沉条件、阿基米德原理和杠杆的平衡条件以及称重法求浮力等，会根据表达式得出判断可得是否均匀是关键．