Question

4．如图所示，R₁：R₂=1：2，滑动变阻器的最大阻值为40Ω，当只闭合电键K₁、滑片P在b端时R₁消耗的功率为P₁，电流表示数I₁=0.2A，当只闭合电键K₂、滑片P在中点时，R₂消耗的功率为P₂，电流表示数I₂，已知P₁：P₂=8：9，求：
（1）I₂的大小；
（2）请说明电路处于何种状态时总功率最大？并求出最大功率？

Answer 1

分析 画出只闭合电键K₁、滑片P在b端时和只闭合电键K₂、滑片P在中点时电路的等效电路图．
（1）根据P=I²R表示出两种情况下R₁与R₂消耗的电功率之比，然后结合R₁与R₂的关系即可求出两种情况下电路的电流之比，然后求出I₂的大小；
（2）根据电压一定时电流与电压成正比得出等式即可求出R₁与R₂的阻值，再根据电阻的串联和欧姆定律求出电源的电压；当电键K₁、K₂闭合，滑片P在a端时，R₁与R₂并联，电路中的总电阻最小，电路消耗的电功率最大，根据电阻的并联求出电路中的总电阻，利用P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求出电路的最大总功率．

解答 解：当只闭合电键K₁、滑片P在b端时等效电路图如图1所示；
当只闭合电键K₂、滑片P在中点时，等效电路图如图2所示；

（1）由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{1}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{2}}$=（$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$）²×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=（$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$）²×$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{9}$，
解得：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
则I₂=$\frac{3}{4}$I₁=$\frac{3}{4}$×0.2A=0.15A；
（2）因电压一定时，电流与电阻成反比，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}R+{R}_{2}}{R+{R}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}×40Ω+2{R}_{1}}{40Ω+{R}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，
解得：R₁=50Ω，R₂=2R₁=2×50Ω=100Ω，
由图1可知，电源的电压：
U=I₁（R+R₁）=0.2A×（40Ω+50Ω）=18V，
当电键K₁、K₂闭合，滑片P在a端时，R₁与R₂并联，电路中的总电阻最小，电路消耗的电功率最大，
因并联电路中总电阻的倒数等于各分电阻倒数之和，
所以，电路中的总电阻：
R_并=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{50Ω×100Ω}{50Ω+100Ω}$=$\frac{100}{3}$Ω，
电路的最大总功率：
P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{并}}$=$\frac{（18V）^{2}}{\frac{100}{3}Ω}$=9.72W．
答：（1）I₂的大小为0.15A；
（2）当电键K₁、K₂闭合，滑片P在a端时总功率最大，最大功率为9.72W．

点评 本题考查了串并联电路的特点和欧姆定律、电功率公式的应用，会判断电路消耗的最大总功率是关键，要注意利用比值法解答问题时各量之间的关系不要颠倒出错．