Question

2．如图表示由很多R=1Ω的相同电阻组成的无穷网络，求A、B间的总电阻R_AB？

Answer 1

分析 可以设R_AB=x，设想自A、B处按原网络增加1格，即在A、B间再接一电阻R，并自A处向左接一电阻R至A₀，自B处向左接一电阻R至B₀，这样，A₀、B₀的右侧与A、B的右侧均为一无穷网格，且结构相同，所以应有R_A0B0=R_AB=x，依上述组成法，R_A0B0应等于R与x并联后再与两个R串联的总电阻，据此列方程求解．

解答 解：
设R_AB=x，设想自A、B处按原网格增加1格，即在A、B间再接一电阻R，并自A处向左接一电阻R至A₀，自B处向左接一电阻R至B₀，如图所示：

这样，A₀、B₀的右侧与A、B的右侧均为一无穷网格，且结构相同，所以应有：
R_A0B0=R_AB=x，
依上述组成法，如下图，

R_A0B0应等于R与x并联后再与两个R串联的总电阻，
即：x=2R+$\frac{Rx}{R+x}$，
x²-2Rx-2R²=0，
x²-2Rx+R²=3R²，
（x-R）²=3R²，
x-R=±$\sqrt{3}$R，
x=R±$\sqrt{3}$R，
可得x=R+$\sqrt{3}$R，（x=R-$\sqrt{3}$R，因是负数舍去）
答：A、B间的总电阻R_AB为R+$\sqrt{3}$R．

点评 本题为无穷网络的计算，设想自A、B处按原网格增加1格，与原网络相同是解题的突破口．