题目内容
12．
“曹冲称象”是妇孺皆知的故事．小邦和小册仿效曹冲，制作了一台“浮力称”，用来称量物体的质量．如图所示，浮力称由浮体和外筒构成，浮体包括秤盘和长度为L0、底面积为S0的圆柱体，浮体质量m0=0.23kg，外筒是足够高的、底面积为S的圆柱形玻璃容器，容器器壁厚度可忽略不计．向外筒中加入适量水，将浮体竖直放入水中，浮体漂浮在水面上，被称物体放在秤盘上，测出浮体的圆柱体浸入水中的深度就可以“称”出物体的质量．已知水的密度为ρ．（1）当秤盘上不放物体时，浮体所受到的浮力为2.3N（g=10N/kg）．
（2）当秤盘上不放物体时，浮体的圆柱体浸入水中的深度h0=$\frac{{m}_{0}}{ρ{S}_{0}}$（用S0、m0、ρ表示）．
（3）被称物体质量m与浮体的圆柱体浸入水中深度h之间的关系式为m=ρS0h-m0（用h、S0、m0、ρ表示）．
（4）要使此“浮力称”能够达到最大称量值，使用前应在外筒中至少加入的水的质量为ρL0（S-S0）（用L0、S0、S、ρ表示）．
分析 （1）当秤盘上不放物体时，浮体所受到的浮力等于浮体自身的重力，利用重力公式即可解答；
（2）当秤盘上不放物体时，根据漂浮条件可表示出浮力，利用阿基米德原理可求出排开水的体积，而V排=S浮体h浸，据此可得圆柱体浸入水中的深度h0的表达式；
（3）当被称物体质量为m时，整体仍然漂浮，分别用漂浮条件和阿基米德原理表示出浮力，据此可得被称物体质量m与浮体的圆柱体浸入水中深度h之间的关系式；
（4）要使此“浮力称”能够达到最大称量值，则圆柱体应刚好浸没，且圆柱体的下表面刚好接触外筒的底部，此时整体仍然漂浮（圆柱体与外筒的底部无力的作用），则可求出所加水的最小体积，最后根据密度公式可求出所加水的最小质量．
解答 解：
（1）当秤盘上不放物体时，由漂浮条件可得浮体所受到的浮力为：
F浮=G0=m0g=0.23kg×10N/kg=2.3N；
（2）当秤盘上不放物体时，根据阿基米德原理和漂浮条件可得：
F浮=ρgV排1=G0=m0g，
则圆柱体排开水的体积为：V排1=$\frac{{m}_{0}}{ρ}$，
已知圆柱体的底面积为S0，则此时圆柱体浸入水中的深度：
h0=$\frac{{V}_{排1}}{{S}_{0}}$=$\frac{\frac{{m}_{0}}{ρ}}{{S}_{0}}$=$\frac{{m}_{0}}{ρ{S}_{0}}$；
（3）当被称物体质量为m时，整体处于漂浮状态，则根据阿基米德原理和漂浮条件可得：
F浮′=ρgV排2=（m+m0）g，
即：ρgS0h=（m+m0）g，
整理可得：m=ρS0h-m0；
（4）要使此“浮力称”能够达到最大称量值，则圆柱体应刚好浸没（此时整体仍处于漂浮状态），且圆柱体的下表面刚好接触外筒的底部时，外筒中所加水的体积最小，如图所示：
则外筒中所加水的最小体积：V水=L0（S-S0），
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，外筒中所加水的最小质量为：m水=ρV水=ρL0（S-S0）．
故答案为：（1）2.3；（2）$\frac{{m}_{0}}{ρ{S}_{0}}$；（3）ρS0h-m0；（4）ρL0（S-S0）．
点评 本题考查了漂浮条件和阿基米德原理的综合应用，利用好物体漂浮时浮力等于重力是解答此题的关键，难点是第3小题，关键是通过作图的方法求出所加水的最小体积．
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