Question

5．甲、乙二人同时从同一地点A出发，沿直线同向到达点B，甲在前一半路程和后一半路程内的运动速度分别是v₁和v₂（v₁＞v₂），乙在前一半时间和后一半时间内的运动速度是v₁和v₂，试证明乙比甲先到．

Answer 1

分析 要想得出谁先到达终点，应分析甲、乙两个同学哪一个所用的时间短，根据速度公式分别表示出甲乙所用的时间，然后得出答案．

解答 解：
设A地到B地的路程为s，设甲所用的时间为t₁，乙所以的时间为t₂，
甲在前一半路程内用速度v₁，后一半路程内用速度v₂，
由v=$\frac{s}{t}$可得：
t₁=$\frac{\frac{s}{2}}{{v}_{1}}$+$\frac{\frac{s}{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{s}{2}$×（$\frac{1}{{v}_{1}}$+$\frac{1}{{v}_{2}}$）=$\frac{s（{v}_{1}+{v}_{2}）}{{2v}_{1}{v}_{2}}$，
乙在前一半时间内用速度v₁，后一半时间内用速度v₂，则
v₁$\frac{{t}_{2}}{2}$+v₂$\frac{{t}_{2}}{2}$=s，解得t₂=$\frac{2s}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，
因t₁-t₂=$\frac{s（{v}_{1}+{v}_{2}）}{{2v}_{1}{v}_{2}}$-$\frac{2s}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{s（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}-2s{×2v}_{1}{v}_{2}}{2{v}_{1}{v}_{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）}$=$\frac{s（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2{v}_{1}{v}_{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）}$＞0；
所以，乙所用的时间较少，乙比甲先到．

点评 本题考查了速度公式的应用，明确甲乙两者的运动过程是解题的关键，会比较两者时间的大小是难点．