题目内容

9．漏刻是我国古代一种用滴水来计量时间的仪器．如图所示是漏刻的简单模型，图中容器A是底面积为250cm2的圆柱形薄壁玻璃缸，容器顶盖上有大小两个孔；B是用密度为0.7×103kg/m3塑料制作的边长为10cm立方体底托；C为质量可忽略不计、总长度为120cm的轻质塑量标尺，标尺的一端与底托相连，标尺上均匀的刻有厘米刻度；D为固定于容器盖口处的指示箭头．某次模拟计时实验中，同学们先将自来水龙头调至均匀间隙滴水状态，并测得水龙头每分钟滴水50滴，并用量筒测得每50滴水的体积为25.0cm3．再在容器A中加入适量水，将底托B放入水中，使其浮于水面上，此时标尺C呈竖直状态且位于大孔下方，指示箭头D恰好指于标尺的顶端零刻度处．此时开始滴水计时，假设整个计时过程标尺始终处于竖直状态，经过1小时后，问：
（1）指示箭头D应指在标尺上何处？
（2）此时标尺和底托所受的浮力是多少牛顿？
（3）此装置最多还能计时几小时？
（4）若要使此装置的计时总时间增加一倍，最简单的办法是什么？简要说明理由．

分析 （1）根据每分钟滴水50滴，每50滴水的体积为25.0cm3．计算经过1小时后容器A增加的水的体积，然后根据h=$\frac{△V}{S}$求出液面升高的高度即为箭头D应指在标尺上的位置；
（2）标尺和底托是处于漂浮状态的，根据漂浮的条件可知所受的浮力与重力相等，所以根据G=mg=ρVg求出标尺和底托的重力即可；
（3）根据轻质标尺的总长度和容器A的底面积求出计时增加的水的体积，然后根据每分钟滴水50滴，每50滴水的体积为25.0cm3求出此装置最多能计时的时间；
（4）因为轻质塑料标尺总长度不变，每分钟滴水增加的水的体积不变，所以根据tmax=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{△hS}{{{V}^{′}}_{0}}$分析即可．

解答 解：（1）因为每分钟滴水50滴，每50滴水的体积为25.0cm3．
所以经过1小时后容器A增加的水的体积为：
△V=25.0cm3/min×1×60min=1500cm3=1.5×10-3m3．
所以水面升高的高度（标尺升高的高度）：
h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{1500c{m}^{3}}{250c{m}^{2}}$=6cm，即箭头D应指在标尺上的6cm位置；
（2）因为标尺和底托是处于漂浮状态的，且标尺C的质量可忽略不计，
所以，根据漂浮条件可得，此时标尺和底托所受的浮力：
F浮=G底托=m底托g=ρ塑料V底托g=ρ塑料（L底托）3g=0.7×103kg/m3×（0.1m）3×9.8N/kg=6.86N；
（3）因标尺的总长度为120cm，
此装置最多能增加的水的体积为：△Vmax=250cm2×120cm=30000cm3，
根据每分钟滴水50滴，每50滴水的体积为25.0cm3可知：
此装置最多能计时的时间为tmax=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{30000c{m}^{3}}{25c{m}^{3}/min}$=1200min=20h，
所以此装置最多还能计时为△t=tmax-t=20h-1h=19h；
（4）根据tmax=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{△hS}{{{V}^{′}}_{0}}$分析可知：此装置的计时总时间要增加一倍，则应将容器A的底面积增加为原来的二倍．
答：（1）箭头D应指在标尺上的6cm位置；
（2）此时标尺和底托所受的浮力是6.86牛顿；
（3）此装置最多还能计时19h；
（4）要使此装置的计时总时间增加一倍，应将容器A的底面积增加为原来的二倍．

点评 本题考查物体的浮沉条件和浮力的计算，关键是明确滴水计时器的原理．

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