Question

17．电源电压不变，当S₁断开，S₂闭合时，滑片P位于变阻器中点c时电阻R₂消耗的电功率P₂=6.75W，然后将滑片P从中点c移动到b端，电流表先后示数之比为5：4，电阻R₂的功率为P₂′．当滑片P不动，仍位于b端，将S₂断开，S₁闭合，变阻器R_ab消耗的功率为8W，电阻R₁消耗的功率为P₁，求：P₁与P₂′之比．

Answer 1

分析 （1）当滑片位于中点，闭合开关S、S₂，断开S₁时，R₂与$\frac{1}{2}$R₃串联；将滑片移至b端时，R₂与R₃串联；根据两次滑动变阻器的电功率之比求出电路中电流之比；再根据电源电压不变求出R₂、R₃的阻值之比；
利用P=I²R求出两种情况下电阻R₂的电功率之比求出R₂消耗功率P₂′．
（2）将滑片移至b端，闭合开关S、S₂断开S₁时，利用P=I²R求出电阻R₂与滑动变阻器电功率之比，即可求出滑动变阻器电功率P₃．
（3）由P=I²R和滑片移至b端闭合开关S、S₂断开S₁时和闭合开关S₁、S，断开S₂时的两种情况下的滑动变阻器电功率求出两种情况下电流之比；然后根据电源的电压不变求出R₁、R₃的阻值之比；利用P=I²R求出R₁消耗功率P₁．
最后根据P₁与P₂′的值求出它们的比值．

解答 解：由题意画出电路图：变阻器为R₃，设三种情况下电路中的电流以此分别为I、I′I″，
（1）由于电源的电压不变，则根据欧姆定律和串联电路的电阻特点得：
I（R₂+$\frac{1}{2}$R₃）=I'（R₂+R₃），
所以，$\frac{{R}_{2}+{R}_{3}}{{R}_{2}+\frac{1}{2}{R}_{3}}$=$\frac{I}{I′}$=$\frac{5}{4}$，
解得：$\frac{{R}_{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{3}{2}$；
由P=I²R可知：两种情况下，电阻R₂的电功率之比为 $\frac{{P}_{2}}{{P}_{2}′}$=$\frac{{I}^{2}{R}_{2}}{I{′}^{2}{R}_{2}}$=$\frac{{I}^{2}}{I{′}^{2}}$=$（\frac{I}{I′}）^{2}$=${（\frac{5}{4}）}^{2}$=$\frac{25}{16}$，
所以，P₂′=0.64P₂=0.64×6.75W=4.32W；
（2）将滑片移至b端，闭合开关S、S₂断开S₁时，
由P=I²R可知：电阻R₂与滑动变阻器电功率之比为：
$\frac{{P}_{2}′}{{P}_{3}}$=$\frac{{I}^{′2}{R}_{2}}{I{′}^{2}{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{3}{2}$，
所以，P₃=$\frac{2}{3}$P₂′=$\frac{2}{3}$×4.32W=2.88W；
（3）则滑片移至b端，闭合开关S、S₂断开S₁时和闭合开关S₁、S，断开S₂时的两种情况下的电流之比：
由P=I²R可得：$\frac{I′}{I″}$=$\frac{\sqrt{\frac{{P}_{3}}{{R}_{3}}}}{\sqrt{\frac{{P}_{3}′}{{R}_{3}}}}$=$\sqrt{\frac{{P}_{3}}{{P}_{3}′}}$=$\sqrt{\frac{2.88W}{8W}}$=$\frac{3}{5}$；
因电源的电源不变，则：I'（R₂+R₃）=I″（R₁+R₃），
所以，$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}$=$\frac{I′}{I″}$=$\frac{3}{5}$；
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{1}{2}$；
闭合开关S₁、S，断开S₂时由P=I²R可知：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{3}′}$=$\frac{{I″}^{2}{R}_{1}}{I{″}^{2}{R}_{3}}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
所以，P₁=$\frac{1}{2}$P₃′=$\frac{1}{2}$×8W=4W．
则P₁：P₂′=4W：4.32W=25：27．
答：P₁与P₂′之比为25：27．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律，及电功率的计算，关键是公式的灵活应用，难点是不同情况下电路的辨析和电源电压不变条件的灵活应用．