Question

(2006年全国初中应用物理知识竞赛题）为了保护环境，治理水土流失，学校的环保小组设计并进行了河水含沙量的研究。

第一阶段是理论分析：分别以ρ_水、ρ_沙、ρ_泥水表示水、泥沙、泥沙水的密度，以x表示每立方米泥沙水中所含泥沙的质量〔称做含沙量），导出了ρ_泥水与ρ_水、ρ_沙、x的关系式；然后作出了泥沙水的密度ρ_泥水、水随含沙量x变化的图象。

第二阶段是实验验证：在一个量筒里放入一定量干燥的黄土，再倒入一定量的清水，计算出含沙量x，并测出泥沙水的密度ρ_泥水；接着再多次加入清水配制成不同密度的泥沙水，进行同样的计算和测量，由此得出ρ_泥水与x的多组数据；然后根据这些数据作出了表示泥沙水的密度与含沙量关系的ρ_泥水一x图象。他们惊喜地发现，实验结果与理论分析是一致的。

第三阶段是实际测量：在一次山洪冲刷地面时，他们采集了40 L的水样，称出其总质量为40.56kg。.此前己经测出干燥的泥沙的密度ρ_沙=2.4×10³ kg/m³，于是求出了洪水中的平均含沙量。

（1)请你参与环保小组第一阶段的工作，与他们一起导出ρ_泥水与ρ_水、ρ_沙、x的关系式。然后根据关系式作出泥沙水的密度ρ_泥水随含沙量x变化图象的草图。

 (2）请你参与环保小组第三阶段的计算工作，求出洪水中的平均含沙量。

Answer 1

（1）设含沙量为x，则体积为V的泥沙水中，沙的质量为xV，沙的体积为xV/ρ_沙，

水的体积为：V- xV/ρ_沙，水的质量为：ρ_水(V- xV/ρ_沙)， 

水与沙的总质量为：M=ρ_水(V- xV/ρ_沙)+ xV，

泥沙水的密度：ρ_泥水=M/V=ρ_水(1- x/ρ_沙)+ x＝ρ_水+（1-ρ_水/ρ_沙）x

令k=1-ρ_水/ρ_沙，　则ρ_泥水=ρ_水+kx

泥沙水的密度随含沙量x变化图象如图所示。

（2）依据：ρ_泥水=ρ_水+kx   则x=(ρ_泥水— ρ_水)/k

已知ρ_沙＝2.4×10³ kg/m³，ρ_泥水=kg/m³=1.014×10³ kg/m³，

ρ_水/ρ_沙=1.0×10³/(2.4×10³)=0.417

       所以  k=1—ρ_水/ρ_沙=0.583

则x=(ρ_泥水— ρ_水)/k = kg/m³ =24kg/m³。

点评：我们通过实验得出泥沙水的密度随含沙量x变化的图象，由图象可知，只要测出泥沙水的密度ρ_泥水，就可以得出水中的平均含沙量。