Question

（2013?石景山区一模）水平桌面上放置一个底面半径为2r、高为2h的圆柱形薄壁开口容器如图所示，将高为h=10cm、半径为r、底面积为20cm²的圆柱体木块竖直放在容器中，木块的密度ρ=0.5ρ_水，然后向容器内注水，若要使木
块竖直漂浮（木块吸水忽略不计），则向容器中注入水的质量范围是

0.3～1.5

kg．

Answer 1

分析：若使木块竖直漂浮，注入水的质量最少，即木块与容器底接触且木块对容器底的压力恰好为零，此时木体所受的浮力等于自身的重力；根据公式F_浮=ρgV_排可求木块排开水的体积；从而求出木块浸入水中的深度；根据公式V=Sh可求注入水的体积；根据公式m=ρV可求注入最少水的质量．
注入水的质量最多时，水刚好不会溢出，根据公式V=Sh可求注入水的体积；根据公式m=ρV可求注入最多水的质量．

解答：解：当木块与容器底接触且木块对容器底的压强恰好为零时，此时注入水的质量最少，
F_浮=G=mg=ρS_木hg=0.5×10³kg/m³×20×10^-4m²×0.1m×9.8Nkg=0.98N，
木块排开水的体积：
V_排=

F浮

ρ水g

=

0.98N

103kg/m3×9.8N/kg

=10^-4m³=100cm³，
木块浸入水中的深度：
h_水=

V排

S木

=

100cm3

20cm2

=5cm，
∵容器的半径为2r，圆柱体木块的半径为r
∴容器的底面积S_容=4S_木=4×20cm²=80cm²
注入水的体积为：
V_水=（S_容-S_木）h_水=（80cm³-20cm³）×5cm=300cm³
注入最少水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1g/cm³×300cm³=300g=0.3kg；
当水注满时，注入水的质量最多；此时注入水的体积为：V_水′=S_容（2h-h_水）+V_水=80cm²×（2×10cm-5cm）+300cm³=1500cm³，
注入最多水的质量：
m_水′=ρ_水V_水′=1g/cm³×1500cm³=1500g=1.5kg；
故向容器中注入水的质量范围是0.3～1.5kg．
故答案为：0.3～1.5．

点评：本题考查了学生对密度公式、重力公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，难点注入水的质量最少和最多情况的分析，知道要使木块竖直漂浮，注入水的质量最少，木块与容器底接触且木块对容器底的压力恰好为零；注入水的质量最多时，水刚好注满，是本题的关键．