Question

11．归纳式探究--研究弹簧的刚性系数：
弹簧受到拉力越大，弹簧伸长的长度就越长．但用同样大小的力拉两只不同的弹簧，伸长的长度不同，这说明弹簧有“软”、“硬”之分，容易被拉伸的弹簧比较软，反之比较硬．弹簧的软硬用它的刚性系数来表示，刚性系数越大，弹簧越硬．

材料	S/m2	n	r/m	A/（N•m-1）
铜	3×10-6	100	1×10-2	90
钢	3×10-6	100	1×10-2	180
铜	6×10-6	100	1×10-2	360
钢	3×10-6	200	1×10-2	90
铜	6×10-6	100	2×10-2	45

为了研究弹簧的刚性系数与哪些因素有关，通过有关实验探究，取得数据如下（其中：S为制造弹簧的金属丝的横截面积，n为弹簧的匝数，r为弹簧的半径，A为弹簧的刚性系数）：
（1）A=k$\frac{{S}^{3}}{{mr}^{3}}$，其中k与制造弹簧的材料有关，材料不同，k值一般不同．上述实验中钢的k值k_钢=2×10⁹N/m²（填上数值和单位）．将数据变成公式，运用的是等价变换法．
（2）用粗细相同的铜丝做成半径相同但匝数不同的弹簧，则弹簧的刚性系数和匝数的关系可以用图象中的图线b表示．
（3）用横截面积为9×l0^-6m²的钢丝制成一个60匝、刚性系数为100N/m的弹簧，则该弹簧的半径为3×10^-2m．

Answer 1

分析 （1）实验中主要有四个变量，分别为材料、横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径，根据控制变量法的要求，分别比较第2、4行数据，3、5行数据，4、6行数据，可分析出横截面积、弹簧匝数和弹簧的半径与A的关系，最终归纳出表达式，再利用表达式可计算出钢的k值，这种方法叫做等价变换法；
（2）通过刚性系数的表达式，可以看出，在其他条件相同时，弹簧的匝数越多，其刚性系数越小，因此，b是符合题意的；
（3）利用归纳得出的公式，将数据代入进行计算可得出弹簧的半径．

解答 解：（1）根据控制变量法的要求，比较第2、4行数据可得，横截面积S之比的平方，等于刚性系数A之比；比较第3、5行数据可得，弹簧的匝数n扩大一倍，刚性系数A减小一半；比较第4、6行数据可得，弹簧的半径r之比的立方，等于刚性系数A之比．综合以上分析可得，A=k•$\frac{{S}^{3}}{{mr}^{3}}$；
选择第3行数据代入公式A=k•$\frac{{S}^{3}}{{mr}^{3}}$得：180N/m=k•$\frac{{（3×1{0}^{-6}{m}^{2}）}^{2}}{{100×（1×1{0}^{-2}{m}^{2}）}^{3}}$；解得k=2×10⁹N/m²；将数据变在公式，这种方法叫做等价变换法．
（2）观察图象可知，a为成正比图象，b是A随弹簧匝数n的增加而减小，故图象b与研究的数据结果相符；
（3）由刚性系数的公式变形得，r=$3\sqrt{\frac{K{S}^{2}}{An}}$，代入数据解得，r=3×10^-2m．
故答案为：（1）$\frac{{S}^{3}}{{mr}^{3}}$；2×10⁹N/m²；等价变换． （2）b．（3）3×10^-2m．

点评 本实验中的变量比较多，在分析数据时，必须在保证其他变量不变的情况下，依次分析其中的一个变量与刚性系数之间的关系，最终综合成公式的形式，这种归纳研究的方法称为等价变换；有了刚性系数的公式，剩余的问题基本要从公式入手进行分析和计算．