Question

5．如图所示，实心正方体A、B放置在水平地面上，受到的重力均为64牛，A的边长为0.2米，B的边长为0.3米．
①正方体A对水平地面的压强p_A．
②正方体A、B的密度之比．
③若在正方体A和B上沿水平方向分别截去相同的体积V后，A、B剩余部分对水平地面的压强为p_A′、p_B′，请通过计算比较它们的大小关系及其对应的V的取值范围．

Answer 1

分析 ①正方体A对水平地面的压力和自身的重力相等，根据面积公式求出A的底面积即为受力面积，根据p=$\frac{F}{S}$求出对水平地面的压强；
②实心正方体A、B的重力相等，根据G=mg可知它们的质量相等，根据题意公式求出两者的体积，根据ρ=$\frac{m}{V}$求出正方体A、B的密度之比；
③在正方体A、B上沿水平方向分别截去相同的体积V后，受力面积不变，求出剩余部分对地面的压力、压强；根据剩余部分对地面的压强相等，列出方程求V的大小；进而得出它们对水平地面的压强大小关系及其对应的V的取值范围．

解答 解：①正方体A对水平地面的压力：
F_A=G_A=64N，
正方体A的底面积：
S_A=a²=（0.2m）²=0.04m²，
正方体A对水平地面的压强：
p_A=$\frac{{F}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{64N}{0.04{m}^{2}}$=1600Pa；
②由于A、B受到的重力均为64牛，
因此，由G=mg可得，AB的质量之比为1：1，即m_A：m_B=1：1，
正方体A、B的体积分别为：
V_A=a³=（0.2m）³=0.008m³，V_B=b³=（0.3m）³=0.027m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，正方体A、B的密度之比：
$\frac{{ρ}_{A}}{{ρ}_{B}}$=$\frac{\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}}{\frac{{m}_{B}}{{V}_{B}}}$=$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$×$\frac{{V}_{B}}{{V}_{A}}$=$\frac{1}{1}$×$\frac{0.027{m}^{3}}{0.08{m}^{3}}$=$\frac{27}{8}$；
③在正方体A、B上沿水平方向分别截去相同的体积△V后，受力面积不变，
正方体的A、B的底面积分别为：
S_A=a²=（0.2m）²=0.04m³，S_B=b²=（0.3m）²=0.09m²，
A剩余部分对地面的压力：
F_A′=G_A′=ρ_AgV_A′=ρ_Ag（V_A-V），
A剩余部分对地面的压强：
p_A=$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{A}g（{V}_{A}-V）}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{A}g（0.008{m}^{3}-V）}{0.04{m}^{2}}$，
B对地面的压力：
F_B′=G_B′=ρ_BgV_B′=ρ_Bg（V_B-V）
B剩余部分对地面的压强：
p_B=$\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{B}g（{V}_{B}-V）}{{S}_{B}}$=$\frac{{ρ}_{B}g（0.027{m}^{3}-V）}{0.09{m}^{2}}$，
当p_A=p_B时，
$\frac{{ρ}_{A}g（0.008{m}^{3}-V）}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{B}g（0.027{m}^{3}-V）}{0.09{m}^{2}}$，
解得：V≈0.0051m³，
当0＜V＜0.0051m³，p_A′＞p_B′，
当V=0.0051m³，p_A′=p_B′，
当0.0051m³＜V≤0.008m³，p_A′＜p_B′．
答：①正方体A对水平地面的压强为1600Pa；
②正方体A、B的密度之比为27：8；
③当0＜V＜0.0051m³，p_A′＞p_B′；当V=0.0051m³，p_A′=p_B′；当0.0051m³＜V≤0.008m³，p_A′＜p_B′．

点评 本题考查了学生对重力公式、密度公式、压强公式的掌握和运用，确定两种情况下的地面受力大小和受力面积是本题的关键．