Question

1．质量为m、高度为h、速度为v的物体具有的重力势能大小可以表示为E_P=mgh，动能大小可以表示为E_k=$\frac{1}{2}$mv²，如果物体在光滑的表面上运动，那么机械能守恒（物体在不同点的机械能总和是不变的）．质量为m、速度为v的物体沿半径为r的圆周做圆周运动，需要向心力大小为F=$\frac{m{v}^{2}}{r}$．
（1）如图，有一个小球从高度为0.45m光滑斜面顶端由静止自由滑下，则小球到达斜面底端的水平面时速度大小为3m/s
（2）小球到达水平面后又进入半径为r的圆周中做圆周运动，若小球刚好能经过圆周的最高点，速度再小就会掉落无法做圆周运动，若整个过程中小球均在光滑面上运动，不受摩擦力，请推导出斜面的高度h与圆周的半径r的关系式为h=2.5r．

Answer 1

分析 （1）在运动的过程中，只有重力做功，所以整个过程中物体的机械能守恒，根据机械能守恒可以求得物体的速度的大小；
（2）小球经C点时对轨道的压力刚好减小到零，故重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：
（1）整个过程中物体的机械能守恒，取地面为零势能面，
由机械能守恒可得，mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
故速度为：v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10N/kg×0.45m}$=3m/s，
（2）物体经圆轨道最高点时对轨道的压力刚好减小到零，此时重力恰好提供向心力，
所以有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，则v²=gr；
根据能量守恒定律可知：mgh=$\frac{1}{2}$mv²+mg2r=$\frac{1}{2}$mgr+mg2r，解得：h=2.5r．
故答案为：（1）3；（2）h=2.5r．

点评 本题是对机械能守恒和牛顿第二定律的应用，是一道基础题，能熟练应用公式是解题的关键．