题目内容
（2013?杨浦区三模）如图所示，甲乙两薄壁柱形容器放在水平桌面上，它们的高度均为0.5米，底面积分别为1×10-2米2和2×10-2米2，容器中分别盛有质量相同的A、B两种液体，且两液面到容器底的距离都是0.1米．已知B液体的密度为0.8×103千克/米3．求：（1）B液体的质量？
（2）若在A、B两液体中分别浸没甲球和乙球，使液体对容器底部的压强相等，请计算甲乙两球的体积之间须满足的关系及它们的取值范围．
分析：（1）已知B液体的深度和容器的底面积，可求B液体的体积，再利用公式m=ρV可求B液体的质量．
（2）求出A液体的体积，知道两液体的质量相同，可求A液体的密度，将甲球和乙球分别浸没在A、B两液体中，求出AB液体的深度，利用p=ρgh求AB液体对容器底的压强，而液体对容器底部的压强相等，据此得出甲球和乙球的体积关系；
根据容器高度和原来液体深度，可求两个容器增大的最大体积，即两球的最大体积，根据甲球和乙球的体积关系确定两球体积的取值范围．
（2）求出A液体的体积，知道两液体的质量相同，可求A液体的密度，将甲球和乙球分别浸没在A、B两液体中，求出AB液体的深度，利用p=ρgh求AB液体对容器底的压强，而液体对容器底部的压强相等，据此得出甲球和乙球的体积关系；
根据容器高度和原来液体深度，可求两个容器增大的最大体积，即两球的最大体积，根据甲球和乙球的体积关系确定两球体积的取值范围．
解答：解：
（1）B液体的体积：
VB=S乙h=2×10-2m2×0.1m=2×10-3m3，
∵ρ=
，
∴B液体的质量：
mB=ρBVB=0.8×103kg/m3×2×10-3m3=1.6kg，
（2）A液体的体积：
VA=S甲h=1×10-2m2×0.1m=1×10-3m3，
∵mA=mB=1.6kg，
∴ρA=
=
=1.6×103kg/m3，
设甲球和乙球体积分别为V甲、V乙，
将甲球和乙球分别浸没在A、B两液体中，
A液体的深度：
hA=
=
，
A液体对容器底的压强：
pA=ρAghA=1.6×103kg/m3×10N/kg×
，
B液体的深度：
hB=
=
，
B液体对容器底的压强：
pB=ρBghB=0.8×103kg/m3×10N/kg×
，
使液体对容器底部的压强相等，pA=pB，
即：1.6×103kg/m3×10N/kg×
=0.8×103kg/m3×10N/kg×
，
∴V乙=4V甲+2×10-3m3，
甲球的最大体积：
V甲最大=S甲×（0.5m-0.1m）=1×10-2m2×0.4m=4×10-3m3，
乙球的最大体积：
V乙最大=S乙×（0.5m-0.1m）=2×10-2m2×0.4m=8×10-3m3，
∴V乙＜8×10-3m3，
V甲=
＜
=1.5×10-3m3．
答：（1）B液体的质量为1.6kg；
（2）甲乙两球的体积之间须满足的关系为V乙=4V甲+2×10-3m3，它们的取值范围V甲＜1.5×10-3m3、V乙＜8×10-3m3．
（1）B液体的体积：
VB=S乙h=2×10-2m2×0.1m=2×10-3m3，
∵ρ=
| m |
| V |
∴B液体的质量：
mB=ρBVB=0.8×103kg/m3×2×10-3m3=1.6kg，
（2）A液体的体积：
VA=S甲h=1×10-2m2×0.1m=1×10-3m3，
∵mA=mB=1.6kg，
∴ρA=
| mA |
| VA |
| 1.6kg |
| 1×10-3m3 |
设甲球和乙球体积分别为V甲、V乙，
将甲球和乙球分别浸没在A、B两液体中，
A液体的深度：
hA=
| VA+V甲 |
| SA |
| 1×10-3m3+V甲 |
| 1×10-2m2 |
A液体对容器底的压强：
pA=ρAghA=1.6×103kg/m3×10N/kg×
| 1×10-3m3+V甲 |
| 1×10-2m2 |
B液体的深度：
hB=
| VB+V乙 |
| SB |
| 2×10-3m3+V乙 |
| 2×10-2m2 |
B液体对容器底的压强：
pB=ρBghB=0.8×103kg/m3×10N/kg×
| 2×10-3m3+V乙 |
| 2×10-2m2 |
使液体对容器底部的压强相等，pA=pB，
即：1.6×103kg/m3×10N/kg×
| 1×10-3m3+V甲 |
| 1×10-2m2 |
| 2×10-3m3+V乙 |
| 2×10-2m2 |
∴V乙=4V甲+2×10-3m3，
甲球的最大体积：
V甲最大=S甲×（0.5m-0.1m）=1×10-2m2×0.4m=4×10-3m3，
乙球的最大体积：
V乙最大=S乙×（0.5m-0.1m）=2×10-2m2×0.4m=8×10-3m3，
∴V乙＜8×10-3m3，
V甲=
| V乙-2×10-3m3 |
| 4 |
| 8×10-3m-3 -2×10-3m3 |
| 4 |
答：（1）B液体的质量为1.6kg；
（2）甲乙两球的体积之间须满足的关系为V乙=4V甲+2×10-3m3，它们的取值范围V甲＜1.5×10-3m3、V乙＜8×10-3m3．
点评：本题考查了学生对密度公式、液体压强公式的掌握和运用，利用液体对容器底部的压强相等得出甲球和乙球的体积关系是本题的关键．
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